建模讲课课件1

yn1
i 1 m
wi
i 1
对于权重的指数u可以用参数优化方法结合具体情况求
得最好的u。也可以直接令u=2.
另外，也可以对权值的进行一定的改进，调整衰减情形。
Kriging方法
• Kriging方法，是以南非矿业工程师 D.G.Krige (克里格)名字命名的一项实用空 间估计技术，是地质统计学 的重要组成部 分，也是地质统计学的核心。
Kriging方法
无偏条件： EZx 为常数,有
EZ * x0 Zx0
E
n i 1
i
Z
xi
Z x0
Baidu Nhomakorabea
n i m m 0 i1
估计方差最小：
n
i 1
（1）
i 1
（2）
Kriging方法
Kriging方程组：
n
i
1
C
xi
xj
i
C x0
n
xj
i 1
i 1
j 1, , n
不满足二阶平稳条件时（变差函数）：
变差函数
基台值：代表变量在空间上的总变异性大小。即为变差函 数在h大于变程时的值，为块金值c0和拱高cc之和。 拱高：为在取得有效数据的尺度上，可观测得到的变异性 幅度大小。当块金值等于0时，基台值即为拱高。
地质变量相关性的各向异性
几何各向异性：变差函数在空间各个方向上的变程不同， 但基台值不变（即变化程度相等）。这种情况能用一个简 单的几何坐标变换将各向异性结构变换为各向同性结构。
2. 再使用Shepard方法拟合残差，然后两部 分结果的和就是所求。
例子
设天气Y与m个因素 (x1, x2 ,L , xm ) 有关，采集n个时刻
的数据作为样本，构成数据集。
y1 x11 x12 L x1m y2 x21 x22 L x2m M M ML M yn xn1 xn2 L xnm
当给出第n+1个时刻的因素数据 (xn1,1, xn1,2 ,L , xn1,m )
(u ui )2 d (x, xi ) p
p
满足：
(x, y) 0
u
Łukaszyk-Karmowski metric（统计概率分布）
wi (x)
1
1
(D**(x, xi ))2
Modified Shepard‘s Method（有限R区域）
wi
(
x)
max(0, R (R*d
d (x, xi (x, xi ))
1 wi (x) d (x, xi ) p
d (x, xi ) 表示从点x到点 xi之间的距离。P是正实数(Power Parameter).
被插值点x到插值点 xi 的距离越大，对应权值越小。
参数P越大，则离被插值点x越近的点的权值越大， 当P充分大，插值结果近似于常数插值。
二维下，取 p 2，会导致插值结果受距离远处点
))
2
Shepard’s partial approximation methods
1
r
w(r)
27 4R
r R
1
0
0r R 3
R rR 3
rR
wi w( x xi )
在GPS高程拟合中常用。
可以根据实际情况，定义需要的权函数衰减规律。
混合模型
1. 先用二次曲面拟合，神经网络模型等方法 对数据进行处理，得到残差。
变差函数的理论模型
设Z(x)为满足本征假设的区域化变量，则常 见的理论变差函数有以下几类：
球状模型 指数模型 高斯模型 幂函数模型 空洞效应模型
球状模型：
0
h
c
Sph
h a
c
3 2
h a
1 2
h a
3
,
c,
c为基台值，a为变程， h为滞后距。
•接近原点处，变差函 数呈线性形状，在变
后，通过以上n个样本数据得到的Y和X之间关系来确定
天气 yn1 的情况。
方法思想
要找到 yn1使得
m
wi ( yn1 yi )2
i 1
达到最小，其中
1 wi ru
m
ri
(xij xn1, j )2
j 1
描述第i个时刻的状态对第n+1个时刻的贡献大小
求解
利用求极值的方法可以得到
m
wi yi
并且还要与经验相符，便于在计算机上实现
定义
散乱数据： 一般指二维平面上或者三维空间中无 规则的随机分布的数据。 分类：散乱数据按其复杂程度可以分为单自变量、 双自变量及多自变量三种类型。
问题表述：（双自变量） 平面上有n个点(xi,yi), 并 有zi=f(xi,yi), 构造一个连续函数F(x,y),使其在n个点 上的函数值与f(x,y)一致。
程处达到基台值。
•原点处变差函数的切 线在变程的2/3处与 基台值相交。
h0 ha
ha
指数模型：
h
c
Exp
h a
c
1
exp
3h a
•变差函数渐近地逼近 基台值。
•在实际变程处，变差 函数为0.95c。
•模型在原点处为直线。
• 基本思想：用N个采样点xk处的函数值yk的加权平均来表达其 它任意点处的函数值F(x)，权重与当前点x与各采样点xk的距 离成反比(Inverse Distance Weighting IDW)。一般格式：
N
wi (x) yi
i1
f (x)
N
wi (x)
i1
yi
if d (x, xi ) 0 for all i if d (x, xi ) 0 for some i
的影响过大： 假设单位面积内有k个点，在与被插 值点x的距离为a到b（a<b）的这块区域内所有点的 权值的和：
j
wj
b 2 rkdr 2 k
a rp
b r1 pdr
a
N维情形下有类似结论
Shepard‘s method 选取P的原则是使得下面的函数 达到最小：
1
( x,
y)
N i 1
中小规模基本方法
• Kriging方法 • Shepard方法 • MQS方法 • 径向基函数方法 • (薄板)样条方法 • 有限元法 • NURBS
数据处理基本思想
针对散乱数据特点和难点将数据进项改善 • 将散乱的数据变成规则的数据 • 把处理海量数据转化成小量数据处理
Shepard方法
• 首先有气象及地质学家提出
散 乱 数 据 处 理
Problem
有N个已知的数据点列或点集(x1, y1),(x2, y2 ),L ,(xN , yN )
（点集来自一个未知函数 u(x) : x R x D Rn ）
要求构造一个光滑（连续且一阶可导的）函数 f (x)，
满足
f (xi ) yi u(xi ) (i 1, 2,L , N )