线性代数矩阵习题课

线性代数习题课（一）
13、设矩阵A,B满足A*BA=2BA-E,其中 A=diag(1,-2,1), A*为A的伴随矩阵，求矩阵B
解:|A|=-2,故A可逆，且 A-1=diag(1,-1/2,1), 又 A*=|A|A-1=-2A-1=diag(-2,1,-2) 故2(E+A-1)BA=E , 即B=(E+A-1)-1A-1/2 又 (E+A-1)-1=diag(-1 , 1/2 , -1) 故B=diag(-1,1/2,-1)
1、设矩阵 A=
2 1
0 -2
4 4
1 3
B=
1 0
2 -2 2 -1
3 4
C=
3 2
4 -3
1 2
2 -1
则(1)A+B=
3 1
2 0
2 3
4 7
B-C=
-2 -2
-2 -3 5 -3
1 5
2A-3C= -5 -12 5 -4 -4 5 2 9
(2)若矩阵X满足A+2X=C ,
则X =(C-A)/2=
由于AB=0，则B的列向量为AX=0的解 又三阶方阵A≠0，故AX=0至多有两个
线性无关的解向量,即r(B)≤2。
线性代数习题课（一）
3、若n阶矩阵A满足方程 A2+2A+3E=0
1 A 2E
则 A-1=
3
4、设A为三阶矩阵，且|A| = 1
则 |2A-1 +3A* |= 53=125
线性代数习题课（一）
线性代数习题课（一）
101
1、设 A= 0 2 0 ,求 An –2An-1 (n≥2)。
101
解：An –2An-1 =(A-2E )An-1
-1 0 1
-1 0 1
= 0 0 0 An-1 = 0 0 0 A An-2
1 0 -1
1 0 -1
-1 0 1 1 0 1
= 0 0 0 0 2 0 An-2 =0
8、设A为4阶方阵, A*为A的伴随矩阵，
(1)若矩阵A的秩r(A)=3，则r(A*)= 1 (2)若矩阵A的秩r(A)=2，则r(A*)= 0
n, 若r(A)=n r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)≤n-2
线性代数习题课（一）
9、设A为4×3矩阵，且r(A)=2, 而
102
B= 0 2 0 , 则 r(AB)= 2
1 0 -1 1 0 1
线性代数习题课（一）
2、设n 维向量α =(a , 0 , … , 0 , a)T(a<0), A=E-ααT , B=E-ααT/a ,
其中A的逆矩阵为B，求a的值。
解：AB=E+(1-1/a-2a)ααT,
AB=E 1-1/a-2a =0 a=-1/2 ( a =1舍去)
004
0 0 1/4
003
0 0 1/4
设A= 0 1 0 , 则 A-1= 0 1 0
400
1/3 0 0
7、设 α =(a1 , a2 , … ,an) ≠0, β =(b1 , b2 , … , bn) ≠0
且A=αβT ，则 r(A)= 1
r(AB)≤min{r(A) , r(B)}
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故(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A
线性代数习题课（一）
1122
15、设行列式 D=
3 2
-21，-11
1 -1
1230
第三行各元素余子式之和。
解：D′=
1 1 2 2 1 2 1 3 213
3 1
-1 -1
-1 1
1 -1
=
3 1
1230 1
2 -4 00 32
4 0
=
1
2 -4 4 =34 321
300
3n 0 0
5、设A= 0 1 0 , 则 An= 0 1 0
004
0 0 4n
003
设A= 0 1 0 , 则 An=
400
12n 0 0
A2n= 0 1 0
0 0 12n
0
0 4n3n+1
A2n+1= 0
10
4n+13n 0 0
线性代数习题课（一）
300
1/3 0 0
6、设A= 0 1 0 , 则 A-1= 0 1 0
其中α，β，r2, r3, r4均为4维向量，
且已知|A|=4 , |B|=1 , 求|A+B|。
|A+B|=|α+β，2r2, 2r3, 2r4|
=8(|A|+|B|) =40
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3 0 1 5、设 A 1 1 0
0 1 4
且 AX=A+2X, 求矩阵X.
线性代数习题课（一）
显然 M31+M32+M33+M34 =D′ =34
线性代数习题课（一）
16、设α1=(1 , 1 , 1)T, α2=(1 , 2 , 3)T, α1=(1 , 3 , t)T (1)问t为何值时，向量组α1、α2、α3线性无关？ (2)问t为何值时，向量组α1、α2、α3线性相关？ 线性相关时，将α3 由α1、α2线性表出。
证(1): 当A = 0时, 则 | A |的所有代数余子式 均为0, 从而A* = 0, 故| A* | = 0. 当 A O且| A | = 0时, 用反证法证明. 假设| A* | 0, 则有A*(A*)–1 = E, 故 A = AE = A[A*(A*)–1] = AA*(A*)–1
= | A |E(A*)–1 = O, 这与A 0矛盾, 故当| A | = 0时, | A* | = 0.
2 2,
3
5 2 2 所以 X 4 3 2
2 2 3
线性代数习题课（一）
1 1
6、设 A 0 1
0 0
求 An
线性代数习题课（一）
解：设 A=λE+H，其中
01 1
00 1
H= 0 0 1 ， 则H2= 0 0 0
00 0
00 0
Hn=0(n≧3),
故 An=(λE+H)n=λ n E +λn-1H+λn-2H2
解：D=
5 2
1 2
00
1 -1 =
1230
5 1
1 2
0=
3
0 -9
10 23
-20 4
= -9 3 =24
线性代数习题课（一）
11、设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明: (1) 若| A | = 0, 则| A* | = 0; (2) |A*| = | A | n–1.
线性代数习题课（一）
1/2 1/2
2 -1/2
-3/2 -1
1/2 -2
作业题答案
(3) 若矩阵Y满足(2A+Y)+3(B-Y)=0 ,
则Y=(2A+3B)/2 = 7/2 3 1 11/2 1 1 5/2 9
(4) 若矩阵X、Y满足3X-Y=2A , X+Y=B ,
则X=(2A+B)/4 =
5/4 1/2
1/2 -1/2
解: 因为 AX=A+2X, 所以(A–2E)X=A,
1 0 1 而 A 2E 1 1 0,
0 1 2
又
1 0 1 1 0 0 ( A 2E | A) 1 1 0 0 1 0
0 1 2 0 0 1
线性代数习题课（一）
1 0 0 5 2 初等行变等
~ 0 1 0 4 3 0 0 1 2 2
3/2 7/4
5/4 5/2
则Y=(3B-2A)/4 =
-1/4 -1/2
3/2 5/2
-7/2 7/4 -11/4 3/5
作业题答案
2、 设矩阵A= 4 -1 0 -2 2 1
5 3
,
1 B= 4
5
0 -2 -3
-2 -1 2
3 0 1
则ABT= 4 -1 0 -2 2 1
145
5 0 -2 -3 3 -2 -1 2
线性代数习题课（一）
14、设n阶矩阵 A、B、A+B可逆，
试证明:A-1+B-1可逆,并求其逆矩阵。 证明：∵A+B=A(A-1+B-1)B,
∴|A+B|=|A|·|A-1+B-1|·|B|,
又因为 A、B、A+B可逆，
故A、B、A+B的行列式不为零。 故A-1+B-1的行列式不为零，
即A-1+B-1为可逆矩阵。 又A-1(A+B)B-1=A-1+B-1,
线性代数习题课（一）
12、设A为可逆矩阵，证明其伴随矩阵A*也是
可逆的，且(A*)=(A-1)*。
证: A为可逆矩阵，则|A* |=|A|n-1≠0， 故A*是可逆的。又 A*=|A|A-1， 故(A-1)*=|A-1|(A-1)-1 =|A-1|A
显然 A*(A-1)*=E，故(A*)=(A-1)*。
0 λ+3 -4 -4
r3-r2 1 -1 1 2 0 8 μ-5 -4
0 λ-5 μ +1 0
又 r(A)=2, 故 λ = 5 , μ = -1
线性代数习题课（一）
x -1 0 x 8、多项式 f(x)= 2 2 3 x ,
-7 10 4 3 1 -7 1 x 求f(x)中常数项的值。 解：观察f(x)的结构可知，常数项的值为
d =-1×(-1)1+2×3×(-1)2+3×(2-3)
=3
线性代数习题课（一）
9、设 A
1 2
1 3
,求A213014。
解：注意到A3=-E , A6=E，
故 A2014=(A6)335A3A
=-A
线性代数习题课（一）
1122
10、计算行列式
D=
3 2
-1 2
-1 1 1 -1
1230
5 5 4 0 5 5 4 -20 5 4
301
= 19 18 28 5 -13 11
线性代数习题课（一）
3、用初等变换将矩阵A化成阶梯形矩阵、
行最简形矩阵、及标准型 。
2 -1 -1 1 2
A= 1 1 -2 1 4 r1↔r2 4 -6 2 -2 4
3 6 -9 7 9
1 1 -2 1 4 2 -1 -1 1 2 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
否则向量组线性无关。
线性代数习题课（一）
1、设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵， det(A)=1/3 , 则
det
1 4
1
A
15
A
(-1)n3
线性代数习题课（一）
13 5
2、设三阶方阵A≠0，B= 2 4 t ,
35 3
且AB=0，则t = 4
解：设A=(α1 , α2 ,α3) , 则 AB=(α1+2α2+3α3 ,3α1+4α2+5α3 , 5α1+tα2+3α3)
线性代数习题课（一）
(2) 当| A | = 0时, 则由(1)得| A* | = 0, 从而| A* | = | A |n–1成立. 当| A | 0时, 由 AA* = | A | E 得, | A | | A* | = | AA* | = || A | E | = | A |n, 由| A | 0得, | A* | = | A |n–1.
-1 0 3
k1 1 1
10、设A=
1 1
k 1
1 k
1 1
, 且r(A)=3,则 k = -3
11 1 k
线性代数习题课（一）
α
β
11、设三阶矩阵A= γ1 ,
γ2
B= γ1
γ2
,
且|A|=2 , |B|=3, 则|3A|= 54
|A+B|= 20 , |A-B|= 0
|AT+BT|= 20
作业题答案
线性代数习题课（一）
3、设A与A+E均可逆，G=E-(A+E)-1 ,求 G-1。 G =E-(A+E)-1 =(A+E)(A+E) -1-(A+E)-1 =A(A+E) -1 由A与A+E均可逆可知G也可逆，且 G -1=(A(A+E) -1)-1=(A+E)A-1
线性代数习题课（一）
4、设四阶矩阵A=(α , r2, r3, r4), B=(β, r2, r3, r4),
1 1 1 1 1 1 1 0 -1
解：(α1, α2, α1)= 1 2 3 ～ 0 1 2 ～ 0 1 2
源自文库1 3 t 0 0 t-5 0 0 t-5
故t=5时，向量组α1、α2、α3线性相关， 且 α3=-α1+2α2
线性代数习题课（一）
17、设β1=mα1+3α2+α3 , β2=2α1+(m+1)α2+α3 , β3=-2α1-(m+1)α2+(m-1)α3 ,
λn nλn-1 n(n-1) λn-2/2
= 0 λn
nλn-1
00
λn
线性代数习题课（一）
7、设矩阵
1 1 1 2
A 3 1 2 5 3 6
且r(A)=2，求 λ 和 μ 的值。
线性代数习题课（一）
1 -1 1 2 解：A r2↔r3 5 3 μ 6
3 λ -1 2
r2-5r1 1 -1 1 2 0 r3-3r1 8 μ-5 -4
其中向量组α1、α2、α3线性无关， 试讨论向量组β1、β2、β3线性相关性。
线性代数习题课（一）
m 2 -2
解：(β1 β2 β3)= (α1 α2 α3) 3 m+1 -m-1
1 1 m-1
m 2 -2 3 m+1 -m-1 =m(m-2)(m+1) 1 1 m-1
故m=0 , 或m=-1 , 或m=2 时向量组线性相关。
r4-(r1+r2) r3-2r2 r2-2r1
1 1 -2 1 4 0 -3 3 -1 -6 0 -4 4 -4 0 0 6 -6 5 3
(-1/4)r3 r4+r2
1 1 -2 1 4 0 -3 3 -1 -6 0 1 -1 1 0 0 2 -2 1 3