由可逆性谈数学解题中的逆向思维_陈萍

第11卷 第4期 衡水学院学报 Vol. 11, No. 4 2009年8月 Journal of Hengshui University Aug. 2009

收稿日期：2009-02-21

作者简介：陈 萍(1968-),女,河北衡水市人,衡水学院数学与计算机学院教授;

李 勇(1981-),男,河北衡水市人,衡水学院数学与计算机学院助教.

由可逆性谈数学解题中的逆向思维

陈 萍，李 勇

（衡水学院 数学与计算机学院，河北 衡水 053000）

摘 要：逆向思维是创造性思维的一种特殊形式，在数学解题中应用十分广泛．在多年的数学教学实践中，归纳可使用逆向思维方式有效解决数学问题的几点经验，并结合对实际数学问题的分析，阐述逆向思维是数学解题中值得深入研究的一种思维方式和策略．

关键词：可逆性；逆向思维；换位思考

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号: 1673-2065(2009)04-0108-02

可逆性是指考虑问题可以从正面去想，也可以从反面想，可以从原因看结果，也可以从结果去分析原因，这在数学应用中是一个分析和综合的过程．由于数学解题是一种复杂的富有创造性的智力活动，它必须遵循一定的规律，离不开辩证的思维，由此便产生了一种新的思维方式——逆向思维．逆向思维是一种发散思维，它是数学创造性思维的一种特殊形式，是对司空见惯的已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式．从问题相反面深入探索，树立新思想，对于很多数学问题，从结论着手进行逆向思考，往往起到事半功倍的效果．以下从几方面说明逆向思维在数学解题中的应用．

1 合理运用公式、法则、定理及定义的可逆性

在数学中可逆的法则、公式及定理不胜枚举．如离散数学中各类等值式、置换规则、代替规则、等价推理规则及附加前提引入规则等均具有可逆性，在解题过程中恰当使用会大大提高解题效率．

例1 将公式),,(),,(z y x yG z y x xF ∃→∀化成与之等值的公式，使其没有既是约束出现的又是自

由出现的个体变项[1]．

分析 原式中的y x ,都是既约束出现又自由出现的个体变项，只有z 仅自由出现，所以使用换名规则将公式),,(z y x xF ∀转换为),,(z y t tF ∀，而将),,(z y x yG ∃转换成为),,(z x G ωω∃，这样便将原式转化为：),,(z y t tF ∀→),,(z x G ωω∃，在此公式中再无既是约束出现又是自由出现的个体变项．同样，原公式也可以通过代替规则达到要求，即：原式

),,(),,(),,(),,(z y yG z t x xF z y x yG z t x xF ω∃→∀⇔∃→∀⇔．

例2 证明)()()(p r q r q p ¬→→→∧¬→[2]

分析 由于需推导的结论为：p r ¬→，其本身也是蕴含式，可直接引用前提r ，依前提有q r →，应用假言推理规则得q ；由于q p ¬→，应用拒取推理规则，便得结论p ¬．

2 对原问题的条件作反向思考，再逐步还原

例3 解方程组

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+−=+−=+−111

232323c z c y c

x b z b y b

x a z a y a x (其中c b a ,,互不相等)．

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分析 上述方程组为三元一次方程组，z y x ,,是未知量，而c b a ,,为常数，常变量关系是明显的，通过分析观察知3个方程的特征很相似，但求解较复杂，不妨换位思考该问题．将原方程常量和变量互换，进行反向逆求．即先把z y x ,,看作常量，来分析c b a ,,3个量的特征，找出表示这种特征的方程，再反求z y x ,,．

由原方程不难得到c b a ,,为关于方程123=+−t z t

y t x 的根，此方程同解以下方程：023=−+−x yt zt t ，由韦达定理知：c b a z bc ac ab y abc x ++=++==,,，此即为原方程组的解． 3 直接从结论入手，采用归谬方法

归谬方法也就是通常解题中应用的反证法，在推理理论中其构造形式结构通常为B A A A k →∧∧∧)(21"，若将B ¬作为前提能推出矛盾来，则说明推理是正确的．这种解题方法在求解数学问题，尤其是推导证明中经常使用．

例4 证明q p s s r r q p ¬→∧¬∧∨¬∧→∧))()())((

分析 上式左侧有4个前提条件r q p →∧、s r ∨¬、s ¬和p 较为复杂，很难直接推导出右边的结论，为此考虑采用归谬方法．假设结论不成立,引入前提条件s r ∨¬s ¬，根据析取三段论规则得到结论r ¬，引入前提r q p →∧，应用拒取规则得结论)(q p ∧¬，对上式应用转换规则得结论q p ¬∨¬，再引入前提p ，应用析取三段论规则得到结论q ¬，由于矛盾，说明q p s s r r q p ¬→∧¬∧∨¬∧→∧))()())((推理正确．

4 从概念的可逆联想出发，寻求解题途径

数学中可逆的概念很多，诸如函数与反函数、正向与反向、高次与低次、合成与分割、定点与动

点、至多与至少，正面与反面、一般与特殊[3]等，对含有这些概念的问题，均可进行可逆联想，从其概

念的反面入手，寻求解题途径．

总之，逆向思维在数学中的应用是广泛而行之有效的，可以培养思维敏捷性、深刻性、双向性，提高创造性思维的能力，是数学解题中值得深入研究的一种思维方式．

参考文献：

[1] 耿素云,屈婉玲.离散数学[M].２版.北京:高等教育出版社,2004:74-75.

[2] 耿素云,屈婉玲.离散数学学习指导与习题解析[M].北京:高等教育出版社,2005:53-54.

[3] 王朝璇.逆向思维在解题中的应用[J].上海中学数学,2007(4):35-36.

Reverse Thinking in Mathematical Problem Solving

CHEN Ping, LI Yong

（College of Mathematics and Computer Science, Hengshui University, Hengshui, Hebei 053000, China)

Abstract: Reverse thinking is a special form of creative thinking, which is widely applied in mathematical problem solving. Based on years of math teaching practice, some experience of it is summed up. Meanwhile, in association with the analysis of practical mathematical problems, it expounds that reverse thinking is a kind of way of thinking and strategy worthy of in-depth study.

Key words: reversibility; reverse thinking; change-place-reflect

（责任编校：耿春红 英文校对：杨 敏）