解答立体几何问题的五大数学思想方法

解答立体几何问题的五大数学思想方法
学习立体几何，除了要掌握基本的数学知识和技能外，还要注意领会与总结解决解答对应问题的常见数学思想方法，下面对解答立体几何问题的五大数学思想方法加以归纳整理，供复习参考． １ 割补思想
分割与补形的思想方法是处理几何图形的重要方法，特别在处理非常规图形时，即使涉及比较熟悉的图形的问题，有时结合割补法也可以更好的得以解决，因此，此考点可明考，即出示陌生图形，也可暗考，即给出熟悉图形，但进行割补实现快速解题．
例１ 如图１，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且,ADE BCF △△均为正三角形，EF AB ∥，2EF =，则该多面体的体积为（ ）．
()
A 32 ()
B 3
3
()C 34
()
D 2
3
解析 本题所涉及的为非常规图形，没有可套用的体积公
式，故需要考虑割补．
解 如图１，作,AG BH 垂直于EF ，垂足分别为,G H ，连
结,DG CH ，由A B C D E F ∥∥，则有,DG CH 垂直于EF ．由
图形的对称性，2EF =，知1
1,2
GH EG FH ===
，由1B F A B ==，3
BFE π
∠=
，2BH =
，
得4B C H S =△．
故所求体积为111243423
+⨯⨯=选()A ．
例２
表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）．
()
A ()
B 13π ()
C 23π ()
D
解析 将正八面体嵌入到正方体中，即以正八面体的顶点为正方体各面的中心，则可知正八面体的棱
A
C
D
F
G
H
B
E 图１
，选()A ． ２ 分类讨论思想
若题目描述的情形不唯一，就要考虑借助分类与整合的思想方法解答．
例３ 如图２，在直三棱柱111ABC A B C -中，
AB BC ==1
2BB =，
90=∠ABC ，,E F 分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ．
解析 分别将111A B C △沿11A B 折到平面11ABB A 上；将111A B C △沿11AC 折到平面11ACC A 上；
将11BCC B 沿1BB 折到平面11ABB A 上；将11BCC B 沿1CC 折到平面11ACC A 上，比较其中EF
长即可．结果为
2
． ３ 等价转化思想
一些立体几何问题，借助等价转化思想，可以得到更好解答． ３．１ 求距离的转化
点、线与面之间的距离，可以借助平行关系，借助等体积等方法实现距离的转化．
例４ 如图３，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为１，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ）．
()A 21
()B
42
()C 2
2
()D 2
3 解析 若直接过点O 作平面11ABC D 的垂线求距离，则难以操作．但若借助“过O 与平面11ABC D 平行的直线上每个点到平面11ABC D 的距离相等”，如图４，点,E F 分别是棱
1111,A D B C 的中点，易知EF 过点O 且与平面11ABC D 平行，
A
图２
1
A 1
E
A
B
D
1D
E O
1B
F
G C
1C
图４
1A
A B
D
1D
O
1B
C
1C
图３
1A
于是，只需求点F 到平面11ABC D 的距离，又可得所求为1BC 的14，即4
2
． ３．２ 求角的转化
求角问题，往往也可以借助平行关系进行转化解答． 例５ 如图５，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ， 1
2
AB BC PA ==
，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．
解析 若直接求直线PA 与平面PBC 所成的角，不易操作，但若根据PA OD ∥，则可转化为求OD 与平面
PBC
所成的
角．
AB BC OA OC ⊥= ，，OA OB OC ∴== ，
OP ABC ⊥又 平面，PA PB PC ∴== ，取BC 的中点E ，连结PE ，则B C P O E ⊥平面
，作O F P E ⊥于F ，连结DF ，则OF ⊥平面PBC ，所以ODF ∠是OD 与平面PBC 所成的角．又OD PA ∥，所以PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠，在R
t O D F ∆中，sin OF ODF OD ∠=
=，所以PA 与平面PBC 所成角的大小为． 例６ （１）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cos ______α=．
（２）已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则
sin α= ．
解析 对（１），由于正四棱柱的六个面两两对应平行，根据同一条直线与多个平行平面所成的角相等，问题转化为一条直线与正四棱柱共顶点的相邻三个面所成的角都为α，求c o s
α．如图６，设,,PA PB PC 两两垂直且相等，作PO ⊥
平面ABC ，则PO 与三个侧面成角相等，连结CO 并延长交AB 于D ，连结PD ，则OPD α∠=，于是
cos cos sin CP
OPD CPD CD
α=∠=∠=
，设C P
a =，
则
图５
A
P
D
B
O C
图６
A
1C
一些立体几何的最值问题，往往通过图形变换进行转化．
例７ 如图７，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自
A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．
到达1A 点的最短路线的长为
．
解析 问题转化为将三棱柱的侧面沿1AA 剪开后展开，并补上展开后全等的部分后，所得矩形对角线的长，如图８所示，易得所求为10．
３．４求体积的转化
一些求体积问题，往往需要借助体积的转化求解． 例８ 如图９，在体积为1的三棱锥A BCD -侧棱
,,AB AC AD 上分别取点,,E F G ， 使
:::2:1AE EB AF FC AG GD ===，记O 为三平面,,BCG CDE DBF 的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于
（ ）．
()A
9
1 ()B
81 ()C 71 ()D 4
1 解析 如图１０，设BG DE M =，CG DF N =，
则连结,CM BN 的交点为O ，设A 到平面BCD 的距离为h ，
则由:2:1AG GD =，可知点G 到平面BCD 的距离为1
3
h ；又
由
2
3
GM MB =，故M 到平面BCD 的距离为3535h h ⨯=；又由
2
5
MO OC =，故O 到平面BCD 的距离为51757h h ⨯=．三棱锥
A BCD -的体积为１，故三棱锥O BCD -的体积等于7
1
．选()C ．
A
1A
A
1A B
1C C
A
1C 1A
C
1B 1B 图８
B
C
D
E
F G
O
图９
A
B
C D E
F G O
M N 图１０
A
B
评注 本题通过多次体积间关系的转化，实现了所求体积与已知体积关系的明朗化． ４ 向量法
借助空间向量，特别是建立空间直角坐标系后，使向量坐标化，能够更加简捷的解答很多涉及位置关系判断及求角，求距离的题目．
例９ 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，
AB CD ∥，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且1
12
PA AD DC AB ===
=，M 是PB 的中点． （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC PB 与所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小．
解析 根据题目特征，注意到,,AB AD AP 两两垂直，可建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量与平面的法向量解答．
解 因为PA PD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，1(0,1,)2
M ．
（Ⅰ）证明：因(0,0,1)AP =，(0,1,0)DC =，故0AP DC ⋅=，所以AP DC ⊥．由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交
直线，由此得DC ⊥面PAD ．又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ．
（
Ⅱ
）
解
：
因
),
1,2,0(),0,1,1(-==PB AC 故||2,||5,2
AC PB AC PB ==⋅=，
所
以
10
cos ,||||
AC PB AC
PB AC PB ⋅<>=
=
⋅，即AC 与PB 所成的角为 （
Ⅲ
）
解
：
在
MC
上取一点(,,)N x y z ，则存在
,
R ∈λ使
,MC NC λ=1
1(1,1,),(1,0,1,1,22
NC x y z MC x y z λλ=---=-∴=-==．要使AN MC ⊥，只需
0AN MC ⋅=，即1
02
x z -
=，解得45λ=．可知当45λ=时，N 点坐标为12(,1,)55，能使0AN MC =．此
时，1212
(,1,),(,1,)5555
A N B
N ==-，有0B N M C ⋅=．由0A N M C ⋅=
， 0BN MC
=得,AN MC BN MC ⊥⊥，所以ANB ∠为所求二面角的平面角．
图１１
图１２
30304||,||,5AN BN AN BN =
=⋅=-．2cos(,)3||||
AN BN AN BN AN BN ⋅∴==-⋅，故所求的二面角为2arccos(3
-．
５ 极端化方法
一些几何问题，借助想象其极端情形，可以更好的使问题得以解决． 例１０ 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）．
()A 三棱锥 ()B 四棱锥 ()C 五棱锥 ()D 六棱锥
解析 对于正六棱锥，当其高趋近于０时，侧棱长趋近于底面边长，但侧棱长始终大于底面边长，而不会相等，故选()D ．
借助极端化方法，同学们可以求一下正六棱锥相邻侧面所成二面角的取值范围．。