一元二次方程知识点总结与题型归纳非常全面

重难点突破 一元二次方程题型汇编知识梳理一、一元二次方程的概念1．一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式()ax bx c a 2++=0≠0，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项． （1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax bx c 2++=0 (a ≠0)．要特别注意对于关于x 的方程ax bx c 2++=0．当a ≠0时，方程是一元二次方程；当a =0且b ≠0时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程式()ax bx c a 2++=0≠0的项与各项的系数．ax 2为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 二、一元二次方程的解法1．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如()(),≥ax b c a c 2+=≠00的一元二次方程． （2）配方法：解形如()ax bx c a 2++=0≠0的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①二次项系数化为1； ②常数项右移；③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成()x m n 2+=的形式．⑤若≥n 0，直接开平方得出方程的解．（3）公式法：将()ax bx c a 2++=0≠0进行配方可以得到：b b ac x a a 222-4⎛⎫+= ⎪24⎝⎭．当≥b ac 2-40时，两个根为,x 12=，其中b ac 2-4=0时，两根相等为bx x a12-==2；当b ac 2-4<0时，没有实数根． 可以用△表示b ac 2-4，△称为根的判别式． 运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值； ③计算b ac 2-4的值；④若≥b ac 2-40，则代入公式求方程的根； ⑤若b ac 2-4<0，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式． 因式分解法的一般步骤：①将方程化为一元二次方程的一般形式； ②把方程的左边分解为两个一次因式的积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解． 2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，把一元二次方程的一般形式ax bx c 2++=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）转化为它的简单形式()A x B C 2-=，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（2）公式法：公式法是由配方法演绎得到的，同样适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算b ac 2-4的值．（3）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．在遇到这类可转化为一元二次方程的高次方程时，通常有两种转化方法．1．因式分解法：如果所遇到的高次方程可以因式分解成两个或者多个一元二次式或一元一次式的乘积的形式，可以用因式分解法．2．整体换元法：在一个式子中要善于观察几个式子的关系，有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的，可以用整体换元法，实现降次的目的．四、可化为一元二次方程的分式方程在遇到这类可转化为一元二次方程的分式方程时，通常有两种转化方法．1．去分母法：在遇到分式方程时，往往先去分母，即通分然后求解．2．整体换元法：在一个分式方程中，如果有的式子含有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的时候可以考虑整体换元法，实现化简的目的．注意：在分式方程中，不管用什么方法解出来，最后一定要验根，因为要使得分式方程有意义，分母不为0，在这个过程中可能产生增根．五、可化为一元二次方程的绝对值方程在遇到这种可转化为一元二次方程的绝对值方程时，通常有两种转化方法．1．分类讨论法：遇到绝对值方程时，可以先去绝对值，而去绝对值，就意味着要分类讨论．第一步，找出分段点，考虑当绝对值符号内的式子等于0时，x取值，由此划分x取值．第二步，根据x取值讨论去绝对值，得到相应转化的一元二次方程．第三步，用合适的方法求解，但是解得的解应该在讨论的x取值内．第四步，依次写出满足绝对值方程的所有根．2．整体换元法：在遇到一个特定的方程时，如果分类讨论，虽然可行但较为繁琐，可以考虑用整体换元法．【总结】在绝对值方程中，要记着考虑绝对值的非负性．在遇到这类可转化为一元二次方程的根式方程时，通常有两种转化方法． 1．两边平方法：等式的两边同时平方，然后化简得到相应的一元二次方程．2．整体换元法：在含根式方程的一个方程中，如果几个式子存在特殊的关系，可以考虑整体换元法．【总结】在根式中解的时候，解一定要使得根号下非负；在整体换元的时候要考虑到换的元的取值范围内，在取值范围内的解才有意义，最后也要像分式方程那样进行验根． 七、模块一 一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=-40时才有实数根．这里b ac 2-4叫做一元二次方程根的判别式，记作△． 2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=-4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=-4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==-2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 八、模块二 一元二次方程的根与系数关系1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=-，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=-，x x q 12=．2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=-，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212-++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=-40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a -0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba-<0，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a ->0，则此方程的两根均为正根；②若ba-<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根． （2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根． 九、模块一 一元二次方程的公共根1．一元二次方程公共根问题的一般解法：（1）如果公共根可以根据其中一个方程求出，则先求出公共根，代入另外一个方程，得到某一个参数的一个方程，解得参数．（2）如果公共根不能直接求出，则先设出公共根，然后代入原方程，通过恒等变形求出参数的值和所有方程的根． 十、模块二 一元二次方程的整数根1．判断整系数一元二次方程是否有整数根的思路：判断整系数一元二次方程ax bx c 2++=0是否有整数根问题的过程中，整除的性质、求根公式、判别式与根系关系起十分重要的作用．2．解整系数一元二次方程整数根问题的常用方法（1）直接求根法：当一元二次方程的根很容易通过分解因式求出时，我们可以直接利用整除的性质讨论当根为整数时参数的取值（能因式分解优先考虑）．（2）利用判别式法：在一元二次方程有整数根的前提下，利用判别式△必须是完全平方式，且△≥0，利用这条性质可以确定整参数的值，但需要验证这些值是否使方程的根为整数． （3）利用韦达定理：由韦达定理（根系关系）得到用待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母得出不定方程来求解，或利用“和与积必须是整数”，结合整除性分析求解．但后者必须进行检验所求的参数值要满足判别式△≥0．（一般用于实参数） 十一、 利用根的定义构造方程如果m 、n 分别是一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根，那么有am bm c 2++=0，an bn c 2++=0，相反的，如果已知m 、n 分别满足am bm c 2++=0，an bn c 2++=0，且a ≠0，那就可以构造一个一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0使得m 、n 是它的解． 十二、 利用根系关系构造方程如果m 、n 分别是一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根，由韦达定理，b m n a +=-，c mn a =，相反的，如果已知m 、n 分别满足b m n a +=-，cmn a=，且a ≠0，那就可以构造一个一元二次方程使得m 、n 是它的两根．这里主要提到的是同形构造及和积构造．例题分析题型一 一元二次方程的概念例题1 下面关于x 的方程中：①ax bx c 2++=0；②()()x x 223-9-+1=1；③x x21++5=0；④x x 23-2+5-6=0；⑤||x x 2-3-3=0；⑥x kx 2++3=0（k 为常数）是一元二次方程_________．（2）若一元二次方程()()m x m x m 222-2+3+15+-4=0的常数项为零，则m 的值为_________．（3）若a b a b x x 2+--3+1=0是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 【解析】（1）②⑥．（2）由题意可知，m 2-4=0，m -2≠0，故m =-2 （3）分以下几种情况考虑： ①a b 2+=2，a b -=2，此时a 4=3，b 2=-3；②a b 2+=2，a b -=1，此时a =1，b =0； ③a b 2+=1，a b -=2，此时a =1，b =-1；【总结】这三道题主要考察学生们对一元二次方程的基本概念的理解，比较简单，但是第三 个小题容易犯错误。