力学中的数学方法-张量-4

3）二阶张量场的梯度
k j i i jk,k j i i e e e e e e T T T x jk =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=∇i k j i jk,i i k j e e e e e e T T x T jk =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=∇可见张量梯度运算结果产生高一阶张量，而且张量的左右梯度一般不同
二、微分运算——散度⎩⎨⎧−∇⋅−⋅∇右散度
左散度A A i j j,i ,i j ji i i u u u x δ⎛⎞∂∇⋅=⋅==⎜⎟∂⎝⎠
u e e j i j,i ,i j ji i i u u u x δ⎛⎞∂⋅∇=⋅==⎜⎟∂⎝⎠
u e e 1）矢量场的散度
2）二阶张量场的散度
k i ik,k i jk,k
j i i e e e e e T T T T x ij jk ==⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=⋅∇δj i ji,j i jk,i i k j e e e e e T T T x T ki jk ==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂⋅=∇⋅δ可见张量梯度运算结果产生低一阶张量，而且张量的左右散度一般不同
三、微分运算——旋度⎩⎨⎧−∇×−×∇右旋度
左旋度A A k i j,j i i e e e u u e u x ijk j =×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=×∇k i j,i i j e e e u u e x u jik j =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂×=∇×1）矢量场的旋度
2）二阶张量场的旋度
k m i jk,k
j i i e e e e e T T e T x ijm jk =×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=×∇m j i jk,i i k j e e e e e T T e x T kim jk =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂×=∇×可见张量梯度运算结果产生同阶张量，而且张量的左右旋度一般不同
()0
∇⋅∇×=T 四、微分运算例题
例1：张量旋度的散度=0 0×∇⋅∇=T 证明：()⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛×∂∂⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=×∇⋅∇k j i i m m e e e e T jk T x x 对于任意阶张量k jk,il ijl k l jk,i ijl T e T e x e e e e =⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=m m k jk,li ijl T e e =()
T ×∇⋅−∇=k jk,il lji T e e =k
jk,il ijl T e e −=与求导顺序无关亚指标交换
()0∇×∇=T 例2：张量梯度的旋度=0 证明：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=∇×∇k j i i m m e e e e T jk T x x 对于任意阶张量
∇×∇=T k j n jk,im min k j i jk,i T e T x e e e e e e e =×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=m m k
j n jk,mi min T e e e e =T
∇×−∇=k j n jk,im imn T e e e e =k
j n jk,im min T e e e e −=
k ijk i j a b a b e ε×=K K K 例1：证明例题练习
123123
123e e e a b a a a b b b ×=G G G K K 231321312132123213a b e a b e a b e a b e a b e a b e =−+−+−G G G G G G 证明：231231321321312312132132123123213213a b e a b e a b e a b e a b e a b e εεεεεε=+++++G G G G G G ijk i j k a b e ε=G
()()a b d a b d a d b c ×⋅×=
⋅⋅⋅⋅K K K J K K K K J K K J K K K c （c ）(）-(）(）例2：证明证明：()()ijk i j k pqr p q r
a b d a b e c d e εε×⋅×=⋅K K K J K G G c ijk pqk i j p q
a b c d εε=()ip jq iq jp i j p q
a b c d δδδδ=−i j i j i j j i
a b c d a b c d =−a b d a d b c =
⋅⋅⋅⋅K K K J K K J K K K （c ）(）-（）(）
()()()a b c a c b a b c
××=⋅−⋅K K K K K K K K K 例3：证明证明：()()i i j j k k a b c a e b e c e ××=××K K K J K J J K J J K ()
i i jkr j k r a e b c e ε=×J K JK i j k jkr i r a b c e e ε=×J K JK i j k jkr irm m a b c e εε=JJ K irm mir εε=jkr mir i j k m a b c e εε=JJ K ()jm ki ji km i j k m a b c e δδδδ=−JJ K i j i j i i k k
a b c e a b c e =−J J K J J K ()()a c b a b c =⋅−⋅K K K K K K
例4：已知123det()ij ijk i j k j X X X X ε==ijk i j k j X X X λμρλμρ
εε=证明：6ijk i j k X X X j
λμρλμρεε=1）2）证明：1）由
123
det()ij ijk i j k j X X X X ε==123123ijk i j k X X X j
εε=132132132123ijk i j k ijk i k j X X X X X X εεεε=132132ijk i j k X X X εε=132123
ikj i k j X X X εε=−j
=其它类似一一证之
证明：6ijk i j k X X X j
λμρλμρεε=2）展开
123123132132231231213213312312321321[ + +]
ijk i j k ijk i j k i j k i j k i j k i j k i j k X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X λμρλμρ
εεεεεεεεε=+++作业：交报告
例5：
i l il
X a λλδ=123
()
1
6
ijk i j k ijk i j k ijk i j k X X X X X X X X X λμρλμρλμρλμρεεελεε==解：(1)j=不求和，哑指标det(),det()i l X j a J λλ==记(1)?
?(2)??l i i l
j J
a X X a λλλλ∂∂====∂∂求1
2ijk j k ijk j k i j X X X X X λμρμρλμρμρ
λεεεε∂==∂112i ijk j k i j a X X j X j
λλμρμρ
λεε∂==∂lm
j
X ∂∂
123
()
1
()6
ijk i j k
ijk i j k a a a a a a a a a λμρλμρλμρλμρλμρλμρεεελεελ==(2)J=不求和，哑指标求和,六次1
2ijk j k ijk j k
i
J a a a a a λμρμρλμρμρλεεεε∂==∂11
2i ijk j k
i J X a a J a J
λλμρμρλεε∂==∂
()()2
∇×∇×=∇∇⋅−∇T T T
例6：证明：
()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×∂∂×∂∂
=
×∇×∇l k kl i i
T x x e e e e T j j 对于二阶张量
l n ji kl imn jkm l m jkm j kl T e e e T x e e e e e ,,i i =×⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛∂∂=...()jn ki ji kn kl ji n l
il ni n l nl ii n l
T T T δδδδ=−=−e e e e e e ()2
=∇∇⋅−∇T T
五. 张量的积分公式—Gauss公式
∫∫=
S
i
p
jk
V
i
p
jk
ds
n
T
dv
T
...
,
...
式中，S是空间体积Ｖ的封闭边界面，n i为边界面S的外法向方向余弦。

,∫
∫
=
S
i j V
i j ds n A dv A ,∫
∫=S
i V
i ds n dv ϕϕ ∫
∫=∇S
V
ds dv ϕϕn ,∫
∫
=
S
j j V
j j ds n A dv A ∫
∫
⋅=⋅∇ds dv A n A 1)、标量场
2)、矢量场
3)、推广到任意阶张量的情形
,∫
∫
=
S
l k j i V
l k j i ds n A dv A 其不变性记法为:
∫∫⋅=⋅∇S
V
ds dv A n A 称为广义高斯公式，或称散度定理。

,∫
∫=S
i k j i V
i k j i ds n A dv A。