非线性滤波算法分析及其性能比较
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m c
( 6)
对权值进行归一化处理 , 即 :
n
λ= α ( n + k ) - n ,α决定 Sigma 点的散布程 式中 : 度 , 通常取一小的正值 , k 通常取 0 ;β用来描述 x 的
2
wk = wk/
i
i
j = 1
∑w
j k
( 13)
58
舰 船 电 子 对 抗
第 32 卷
后验概率密度进行近似来得到次优的滤波算法 。
U KF 算法的核心是 U T 变换 ,U T 是一种计算
粒子滤波器通过蒙特卡罗 ( MC) 模拟实现递推 贝叶斯滤波 ,它的关键思想是利用一组带有相关权 值的随机样本对概率密度函数 p ( xk | zk ) 进行近似 , 以样本均值代替积分均值 , 从而获得状态最小方差 估计 。假定用 { xik , w ik } iN=s 1 表示 k 时刻的随机粒子 , 其中 w ik 是归一化后的权值 , 那么 k 时刻的后验概率 密度可以近似为 :
1 非线性滤波方法
1. 1 扩展卡尔曼滤波算法 E KF 算法是一种近似方法 , 它将非线性模型在
第1期
刘双全等 : 非线性滤波算法分析及其性能比较
57
状态估计值附近作泰勒级数展开 ,并在一阶截断 ,用 得到的一阶近似项作为原状态方程和测量方程近似 表达形式 ,从而实现线性化 ,同时假定线性化后的状 态依然服从高斯分布 , 然后对线性化后的系统采用 标准卡尔曼滤波获得状态估计 。采用局部线性化技 术 ,能得到问题局部最优解 ,但它能否收敛于全局最 优解 ,取决于函数的非线性强度以及展开点的选择 。 假定定位跟踪问题的非线性状态方程和测量方 程如下 :
2008 年 2 月 第 32 卷第 1 期
舰船 电子 对抗
S H IPBOA RD EL EC TRON IC COUN TERM EASU R E
Feb. 2009
Vol. 31 No . 1
非线性滤波算法分析及其性能比较
刘双全 ,李修和 ,陈明建
( 电子工程学院 ,合肥 230037)
摘要 : 针对目标跟踪实际应用中量测方程非线性对滤波精度和稳定性的影响 ,重点分析了模型线性化的滤波算法 、
w k ∝ w k- 1
i i i i i p ( zk | xk ) / p ( xk | xk- 1 ) i i q ( xk | x0∶ k- 1 , x1∶ k)
2 ) + (1 - α ) w0 = λ / ( n +λ +β
c
( 12)
) , i = 1 , 2 , …, 2 n w i = w i = 1/ 2 ( n +λ
Ns i=1 i ( x - xik ) , 其中 : w i ∝ p ( xi ) / q ( xi ) , 是归一化权 ∑wδ
χ i = x + χ 0 = x, χ i = x -
( n +λ ) Px , i = 1 , 2 , …, n ( n +λ ) Px , i = n + 1 , ( 5)
PF
率密度 。E KF 运行速度快 ,但它的性能随着非线性 强度变大而明显下降 。U KF 不采用线性化处理能 很好地解决这个问题 。但 E KF 和 U KF 都是针对 非线性系统的线性卡尔曼滤波方法的变形和改进形 式 ,因此受到线性卡尔曼滤波算法的条件制约 ,即系 统状态应满足高斯分布 。如果系统状态的后验概率 密度是非高斯的 ,那么两者都将产生极大的误差 ,滤 波性能变差 。粒子滤波算法无需考虑系统的非线性 强度和非高斯环境 , 它是非高斯非线性系统状态估 计的 “最优” 滤波器 。 表 1 给出了不同状态方程和观测方程的概率分 布特性时的不同滤波方法 。 由贝叶斯估计方法看出 , 卡尔曼滤波方法是线 性高斯系统的最优滤波器 ; 而粒子滤波作为采样贝 叶斯估计算法 ,只是随着采样粒子数的不断增大 ,逐 渐趋向状态的后验概率密度 ; 粒子滤波算法与其它 非线性滤波方法一样 ,也是一种次优的滤波方法 ,粒 子滤波在解决非高斯分布系统时具有明显的优势 。
∑w
c i
T (γ γ i - x) ( i - y)
5 f ( Xk ) | 5X
由于 x 的均值和方差都精确到二阶 , 计算得到
( 3)
X = X( k| k)
y 的均值和方差也精确到二阶 , 比线性化模型精度
5 h ( Xk ) | 5X
X = X( k| k- 1)
( 4)
更高 。在 卡 尔 曼 框 架 内 应 用 U T 技 术 就 得 到 了 U KF 算法 。
非线性 高斯
E KF/ U KF/ PF PF E KF/ U KF/ PF PF
非线性 非高斯
PF PF PF PF
2 E KF 、 U KF 、 PF 3 种算法的比较
E KF 通过线性化处理实现非线性滤波估计 , 而 U KF 和 PF 是利用采样样本来逼近状态的后验概
非线性高斯 E KF/ U KF/ PF 非线性非高斯
Xk+1 = f ( Xk ) + W k Yk = h ( Xk ) + V k ( 1) ( 2)
分布 信 息 ( 高 斯 情 况 下,β 的 最 优 值 为 2) ;
( n +λ ) Px 为矩阵平方根第 i 列 ; w im 为均值的权
值 ; wc i 为方差的权值 。 ( 2) 计算 Sig来自百度文库a 点通过非线性函数 f ( ・ ) 的传 播结果 : γ χ ( 7) i = f ( i ) , i = 0 , 1 , …, 2 n 从而可得 :
0 引 言
在雷达目标跟踪的实际应用中 , 传感器所给出 的是目标的斜距 、 方位角和俯仰角 。通常 ,目标的状 态方程是在直角坐标系下描述的 , 而量测方程是在 极坐标或球坐标下得到的 。因而 , 同一坐标系下状 态方程和量测方程不可能都是线性的 ,这样 ,系统的 非线性就成为困扰得到最优估计的重要因素 。 解决非线性滤波问题的最优方案需要得到其目 标状态后验概率密度函数的完整描述 , 然而在实际 的雷达跟踪中这很难 。以往对非线性估计问题的处 理 ,主要是通过扩展卡尔曼 ( E KF ) 来解决 。但是扩 展卡尔曼滤波对非线性的状态方程或观测方程作线 性化处理在稳定性 、 收敛精度 、 收敛时间上往往难以 满足要求 。由于近似非线性函数的概率密度分布比
n + 2 , …, 2 n
) w0 = λ / ( n +λ
m
值 。如果 样 本 xik 来 自 重 要 性 密 度 函 数 p ( xk | i i z1 ∶k ) , 相应的权值 w k 可定义为 w k ∝ p ( xk | z1 ∶k ) / q ( xk | z1 ∶k ) 。 若重要密 度函 数可 以分 解为 q ( xk | z1 ∶k ) = q ( xk | xk - 1 , z1 ∶k ) q ( xk - 1 | z1 ∶k - 1 ) , 那么权值更新公 式为 :
Ns
非线性变换中的随机变量的统计特征的新方法 , 是
U KF 的基础 。
p ( xk | z1∶ k) ≈
i = 1
∑w δ( x
i k
k
- xk )
i
( 11)
假设 n 维随机向量 x ∶N ( x , Px ) , x 通过非线性 函数 y = f ( x) 变换后得到 n 维的随机变量 y 。通过
Abstract :In view of t he influence of no n2linear measurement equatio n o n p recisio n and stabilit y of filtering in target t racking applicatio n ,t his paper especially analyzes t he basic p rinciple ,characteris2 tics and adaptive co nditio ns of model2linearizatio n filtering algorit hm , unscented Kalman filtering ( U KF) algorit hm and particle filtering ( PF ) algorit hm. The simulatio n experiment co mpares t he t racking effect of extended Kalman filtering ( E KF) ,U KF and PF algorit hm. The result s show s t hat t he PF algorit hm is bet ter t han t he ot her t wo filtering algorit hms under t he no n2linear co nditio n. Key words :no n2linear filtering ;extended Kalman filtering ; unscented Kalman filtering ;particle filte2 ring
Analysis and Perf ormance Comparison of Non2l inear Filtering Algorithm
L IU Shuang2quan ,L I Xiu2he ,C H EN Ming2jian
( Elect ro nic Engineering Instit ution , Hefei 230037 ,China)
2n
y =
2n
i = 0
∑w γ
m i
i
( 8)
T
Py = P xy =
i = 0
∑w
2n
c i
(γ γ i - y) ( i - y)
( 9) ( 10)
在最近一次状态估计的时刻 , 对以上两式进行 线性化处理 ,首先构造如下 2 个矩阵 :
F ( k + 1 | k) = H ( K) =
i = 0
1. 3 粒子滤波算法
将线性化后的状态转移矩阵和观测矩阵代入到 标准卡尔曼滤波框架中 ,即得到扩展卡尔曼滤波 。
1. 2 无迹卡尔曼滤波算法
为了改善对非线性问题进行滤波的效果 ,J ulier 等人提出了采用基于 unscented 变换的 U KF 方法 。
U KF 不是和 E KF 一样去近似非线性模型 , 而是对
收稿日期 : 2008 - 05 - 03 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ,项目编号 :60801044
近似非线性函数更容易 , 使用采样方法近似非线性 分布来解决非线性问题的途径在最近得到了人们的 广泛关注 。采样近似法是用带有权值的样本集来近 似目标的状态后验概率密度 ( PD F) , 典型的算法有 无迹卡尔曼滤波 ( U KF) 算法和粒子滤波 ( PF) 算法 , 其中 U KF 算法采用的是确定的样本点 , 因而避免 了由线性化而导致的跟踪误差 , 但当状态的后验概 率密度是非高斯时 ,跟踪性能会随之下降 。PF 摆脱 了解决非线性滤波问题时随机量必须满足高斯分布 的制约条件 ,适用于非高斯非线性条件 。
U T 变换可以以较高的精度和较低的计算复杂度求
得 y 的均值 y 和方差 P y 。U T 的具体过程可描述如 下:
( 1) 计算 2 n + 1 个 Sigma 点及其权值 :
假定 p ( x) ∝π( x) , 从中很难得出 x 的采样值 , 通常需要借助一些采样性算法 。令样本 xi 是 从 q ( x) 中采样得到的 , i = 1 , …N s , q ( x) 是重要性密度 函数 。概 率 密 度 函 数 p ( x) 可 以 表 示 为 p ( x ) ≈
无迹卡尔曼滤波 (U KF) 和粒子滤波算法 ( PF) 的基本原理和特点以及适应的条件 。仿真试验比较了扩展卡尔曼 、 无 迹卡尔曼和粒子滤波的跟踪效果 ,结果表明非线性条件下粒子滤波算法优于其它两种滤波算法 。
关键词 : 非线性滤波 ;扩展卡尔曼滤波 ;无迹卡尔曼滤波 ;粒子滤波 中图分类号 : TN957. 52 文献标识码 : A 文章编号 : CN3221413 (2009) 0120056204
粒子滤波 SIS 算法是由重要性密度获取支撑 点 ,并随着测量值的一次到来迭代求得相应的权值 , 最终以加权和表征后验概率密度 。当采样点足够多 时 ,MC 特性与后验概率密度等价 。
表1 各种滤波算法的适应性范围
状态方程 观测方程 线性高斯 线性非高斯 线性 高斯
KF PF
线性 非高斯
PF PF PF PF
( 6)
对权值进行归一化处理 , 即 :
n
λ= α ( n + k ) - n ,α决定 Sigma 点的散布程 式中 : 度 , 通常取一小的正值 , k 通常取 0 ;β用来描述 x 的
2
wk = wk/
i
i
j = 1
∑w
j k
( 13)
58
舰 船 电 子 对 抗
第 32 卷
后验概率密度进行近似来得到次优的滤波算法 。
U KF 算法的核心是 U T 变换 ,U T 是一种计算
粒子滤波器通过蒙特卡罗 ( MC) 模拟实现递推 贝叶斯滤波 ,它的关键思想是利用一组带有相关权 值的随机样本对概率密度函数 p ( xk | zk ) 进行近似 , 以样本均值代替积分均值 , 从而获得状态最小方差 估计 。假定用 { xik , w ik } iN=s 1 表示 k 时刻的随机粒子 , 其中 w ik 是归一化后的权值 , 那么 k 时刻的后验概率 密度可以近似为 :
1 非线性滤波方法
1. 1 扩展卡尔曼滤波算法 E KF 算法是一种近似方法 , 它将非线性模型在
第1期
刘双全等 : 非线性滤波算法分析及其性能比较
57
状态估计值附近作泰勒级数展开 ,并在一阶截断 ,用 得到的一阶近似项作为原状态方程和测量方程近似 表达形式 ,从而实现线性化 ,同时假定线性化后的状 态依然服从高斯分布 , 然后对线性化后的系统采用 标准卡尔曼滤波获得状态估计 。采用局部线性化技 术 ,能得到问题局部最优解 ,但它能否收敛于全局最 优解 ,取决于函数的非线性强度以及展开点的选择 。 假定定位跟踪问题的非线性状态方程和测量方 程如下 :
2008 年 2 月 第 32 卷第 1 期
舰船 电子 对抗
S H IPBOA RD EL EC TRON IC COUN TERM EASU R E
Feb. 2009
Vol. 31 No . 1
非线性滤波算法分析及其性能比较
刘双全 ,李修和 ,陈明建
( 电子工程学院 ,合肥 230037)
摘要 : 针对目标跟踪实际应用中量测方程非线性对滤波精度和稳定性的影响 ,重点分析了模型线性化的滤波算法 、
w k ∝ w k- 1
i i i i i p ( zk | xk ) / p ( xk | xk- 1 ) i i q ( xk | x0∶ k- 1 , x1∶ k)
2 ) + (1 - α ) w0 = λ / ( n +λ +β
c
( 12)
) , i = 1 , 2 , …, 2 n w i = w i = 1/ 2 ( n +λ
Ns i=1 i ( x - xik ) , 其中 : w i ∝ p ( xi ) / q ( xi ) , 是归一化权 ∑wδ
χ i = x + χ 0 = x, χ i = x -
( n +λ ) Px , i = 1 , 2 , …, n ( n +λ ) Px , i = n + 1 , ( 5)
PF
率密度 。E KF 运行速度快 ,但它的性能随着非线性 强度变大而明显下降 。U KF 不采用线性化处理能 很好地解决这个问题 。但 E KF 和 U KF 都是针对 非线性系统的线性卡尔曼滤波方法的变形和改进形 式 ,因此受到线性卡尔曼滤波算法的条件制约 ,即系 统状态应满足高斯分布 。如果系统状态的后验概率 密度是非高斯的 ,那么两者都将产生极大的误差 ,滤 波性能变差 。粒子滤波算法无需考虑系统的非线性 强度和非高斯环境 , 它是非高斯非线性系统状态估 计的 “最优” 滤波器 。 表 1 给出了不同状态方程和观测方程的概率分 布特性时的不同滤波方法 。 由贝叶斯估计方法看出 , 卡尔曼滤波方法是线 性高斯系统的最优滤波器 ; 而粒子滤波作为采样贝 叶斯估计算法 ,只是随着采样粒子数的不断增大 ,逐 渐趋向状态的后验概率密度 ; 粒子滤波算法与其它 非线性滤波方法一样 ,也是一种次优的滤波方法 ,粒 子滤波在解决非高斯分布系统时具有明显的优势 。
∑w
c i
T (γ γ i - x) ( i - y)
5 f ( Xk ) | 5X
由于 x 的均值和方差都精确到二阶 , 计算得到
( 3)
X = X( k| k)
y 的均值和方差也精确到二阶 , 比线性化模型精度
5 h ( Xk ) | 5X
X = X( k| k- 1)
( 4)
更高 。在 卡 尔 曼 框 架 内 应 用 U T 技 术 就 得 到 了 U KF 算法 。
非线性 高斯
E KF/ U KF/ PF PF E KF/ U KF/ PF PF
非线性 非高斯
PF PF PF PF
2 E KF 、 U KF 、 PF 3 种算法的比较
E KF 通过线性化处理实现非线性滤波估计 , 而 U KF 和 PF 是利用采样样本来逼近状态的后验概
非线性高斯 E KF/ U KF/ PF 非线性非高斯
Xk+1 = f ( Xk ) + W k Yk = h ( Xk ) + V k ( 1) ( 2)
分布 信 息 ( 高 斯 情 况 下,β 的 最 优 值 为 2) ;
( n +λ ) Px 为矩阵平方根第 i 列 ; w im 为均值的权
值 ; wc i 为方差的权值 。 ( 2) 计算 Sig来自百度文库a 点通过非线性函数 f ( ・ ) 的传 播结果 : γ χ ( 7) i = f ( i ) , i = 0 , 1 , …, 2 n 从而可得 :
0 引 言
在雷达目标跟踪的实际应用中 , 传感器所给出 的是目标的斜距 、 方位角和俯仰角 。通常 ,目标的状 态方程是在直角坐标系下描述的 , 而量测方程是在 极坐标或球坐标下得到的 。因而 , 同一坐标系下状 态方程和量测方程不可能都是线性的 ,这样 ,系统的 非线性就成为困扰得到最优估计的重要因素 。 解决非线性滤波问题的最优方案需要得到其目 标状态后验概率密度函数的完整描述 , 然而在实际 的雷达跟踪中这很难 。以往对非线性估计问题的处 理 ,主要是通过扩展卡尔曼 ( E KF ) 来解决 。但是扩 展卡尔曼滤波对非线性的状态方程或观测方程作线 性化处理在稳定性 、 收敛精度 、 收敛时间上往往难以 满足要求 。由于近似非线性函数的概率密度分布比
n + 2 , …, 2 n
) w0 = λ / ( n +λ
m
值 。如果 样 本 xik 来 自 重 要 性 密 度 函 数 p ( xk | i i z1 ∶k ) , 相应的权值 w k 可定义为 w k ∝ p ( xk | z1 ∶k ) / q ( xk | z1 ∶k ) 。 若重要密 度函 数可 以分 解为 q ( xk | z1 ∶k ) = q ( xk | xk - 1 , z1 ∶k ) q ( xk - 1 | z1 ∶k - 1 ) , 那么权值更新公 式为 :
Ns
非线性变换中的随机变量的统计特征的新方法 , 是
U KF 的基础 。
p ( xk | z1∶ k) ≈
i = 1
∑w δ( x
i k
k
- xk )
i
( 11)
假设 n 维随机向量 x ∶N ( x , Px ) , x 通过非线性 函数 y = f ( x) 变换后得到 n 维的随机变量 y 。通过
Abstract :In view of t he influence of no n2linear measurement equatio n o n p recisio n and stabilit y of filtering in target t racking applicatio n ,t his paper especially analyzes t he basic p rinciple ,characteris2 tics and adaptive co nditio ns of model2linearizatio n filtering algorit hm , unscented Kalman filtering ( U KF) algorit hm and particle filtering ( PF ) algorit hm. The simulatio n experiment co mpares t he t racking effect of extended Kalman filtering ( E KF) ,U KF and PF algorit hm. The result s show s t hat t he PF algorit hm is bet ter t han t he ot her t wo filtering algorit hms under t he no n2linear co nditio n. Key words :no n2linear filtering ;extended Kalman filtering ; unscented Kalman filtering ;particle filte2 ring
Analysis and Perf ormance Comparison of Non2l inear Filtering Algorithm
L IU Shuang2quan ,L I Xiu2he ,C H EN Ming2jian
( Elect ro nic Engineering Instit ution , Hefei 230037 ,China)
2n
y =
2n
i = 0
∑w γ
m i
i
( 8)
T
Py = P xy =
i = 0
∑w
2n
c i
(γ γ i - y) ( i - y)
( 9) ( 10)
在最近一次状态估计的时刻 , 对以上两式进行 线性化处理 ,首先构造如下 2 个矩阵 :
F ( k + 1 | k) = H ( K) =
i = 0
1. 3 粒子滤波算法
将线性化后的状态转移矩阵和观测矩阵代入到 标准卡尔曼滤波框架中 ,即得到扩展卡尔曼滤波 。
1. 2 无迹卡尔曼滤波算法
为了改善对非线性问题进行滤波的效果 ,J ulier 等人提出了采用基于 unscented 变换的 U KF 方法 。
U KF 不是和 E KF 一样去近似非线性模型 , 而是对
收稿日期 : 2008 - 05 - 03 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ,项目编号 :60801044
近似非线性函数更容易 , 使用采样方法近似非线性 分布来解决非线性问题的途径在最近得到了人们的 广泛关注 。采样近似法是用带有权值的样本集来近 似目标的状态后验概率密度 ( PD F) , 典型的算法有 无迹卡尔曼滤波 ( U KF) 算法和粒子滤波 ( PF) 算法 , 其中 U KF 算法采用的是确定的样本点 , 因而避免 了由线性化而导致的跟踪误差 , 但当状态的后验概 率密度是非高斯时 ,跟踪性能会随之下降 。PF 摆脱 了解决非线性滤波问题时随机量必须满足高斯分布 的制约条件 ,适用于非高斯非线性条件 。
U T 变换可以以较高的精度和较低的计算复杂度求
得 y 的均值 y 和方差 P y 。U T 的具体过程可描述如 下:
( 1) 计算 2 n + 1 个 Sigma 点及其权值 :
假定 p ( x) ∝π( x) , 从中很难得出 x 的采样值 , 通常需要借助一些采样性算法 。令样本 xi 是 从 q ( x) 中采样得到的 , i = 1 , …N s , q ( x) 是重要性密度 函数 。概 率 密 度 函 数 p ( x) 可 以 表 示 为 p ( x ) ≈
无迹卡尔曼滤波 (U KF) 和粒子滤波算法 ( PF) 的基本原理和特点以及适应的条件 。仿真试验比较了扩展卡尔曼 、 无 迹卡尔曼和粒子滤波的跟踪效果 ,结果表明非线性条件下粒子滤波算法优于其它两种滤波算法 。
关键词 : 非线性滤波 ;扩展卡尔曼滤波 ;无迹卡尔曼滤波 ;粒子滤波 中图分类号 : TN957. 52 文献标识码 : A 文章编号 : CN3221413 (2009) 0120056204
粒子滤波 SIS 算法是由重要性密度获取支撑 点 ,并随着测量值的一次到来迭代求得相应的权值 , 最终以加权和表征后验概率密度 。当采样点足够多 时 ,MC 特性与后验概率密度等价 。
表1 各种滤波算法的适应性范围
状态方程 观测方程 线性高斯 线性非高斯 线性 高斯
KF PF
线性 非高斯
PF PF PF PF