1奇偶性问题

第一讲整数的奇偶性

整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.

关于奇数和偶数，有下面的性质：

（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是

偶数；

（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；

（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；

（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个

是偶数，则乘积是偶数.

以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.

例1．能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？

1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

分析与解：等号左端共有9个数参加加、减运算，其中有5个奇数，4个偶数。5个奇数的和或差仍是奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。

例2．某次数学竞赛，共40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错扣1分，证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数。

例3.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。这位同学的计算有没有错？

分析与解：原三位数与新三位数相加时，没有进位现象出现，设原三位数为，

现计算原三位数各位数字和与新三位数各位数字和，它们均为()，因为没有进位现象，所以原新两数相加后，和的各位数字和为。而999的

个位数字和为27，27为奇数，不可能等于。所以小乐的计算一定是

错误的。

例4．某展览会共有36个陈列室，如图有“○”的室陈列图片，有“△”的室陈列实物，邻室之间都有门可以通过，有人希望每个室都去一次，而且只去一次，你能替他设计参观路线吗？

例5．将8*8的棋盘的左下角和右上角的1*1小正方形减去， 试证：用31张1*2的小正方形纸片不能完全盖住残缺的棋盘

例6.一些毕业生约定彼此通信，并且规定只要接到对方来信，一定回信。 求证：

出口

他们中写奇数封信的人必为偶数个。

证：无论这些毕业生人数是奇数或是偶数，由于接到来信必定回信，所以他们写信的总数N一定是偶然。假设写奇数封信的学生有奇数个则写奇数封信的学生所写信的总数M1一定是奇数，其余学生写了偶数封信，他们写信的总数M2，一定是偶数。由于N=M1+M2上式左端是偶然而右端是奇数，这是不可能的，故写奇数封信的人必为偶数个。

游戏：

问题Ⅰ：桌子上放着六只杯口朝上的杯子，每次翻动五只，问：你能否经过若干次后，将桌面上的六只杯子的杯口全部朝下？(请试着做一下)

分析：经过几次试翻后，你会发现这能办到。那么你在试翻过程中是盲目地乱翻，还是有一个比较清晰的方法呢？请看下面的方法。

解：要求每次翻动五只，反过来想就是每次有一只杯子不动，为了使每次翻动的杯子不完全相同，我们可以规定；第1次，第1只杯子不动；第2次，第2

只杯子不动；……第6次，第6只杯子不动，这样经过6次后我们会发现杯口全部朝下了。

点评：上述解法巧在思考问题的对立面，能从"每次翻动5只"想到"每次有1只杯子不动"是使问题简化的关键。

问题Ⅱ：如果将问题Ⅰ中的六只改为五只，每次翻动五只改为每次翻动四只，你现在还能否经过若干次后，将桌面上的五只杯子的杯口全部朝下吗？

分析：我们完全可以仿着问题Ⅰ的解法做下去，但最后发现经过6次翻动后，杯口又全部朝上了，如果接着按这种方法翻下去，我们很清楚地看到是无法达到目标的，这时很自然地会使我们思考下列问题：(1)是我们的翻法还不够好吗？换一种翻法也许会达到要求呢？还是无论怎么翻，都无法使杯口朝下呢？(2)为什么问题Ⅰ与问题Ⅱ不同呢？他们的区别又在哪呢？如把问题Ⅱ中的杯子数和每次翻动数再改一改，又会怎样呢？

引入中问题Ⅱ的解决：

（1）解：首先，我们发现对于一只杯子来说，只当翻动奇数次时，杯口方向改变，所以要使5只杯子的杯口全部变为朝下，那么每只杯子都要翻动奇数次。5个奇数的和为奇数。所以翻动的总次数为奇数时才能使5只杯子的杯口全朝下，而每次翻动4只，不管翻动多少次，翻动的总张数都是偶数，所以无论翻动多少次都不可能使杯口全部朝下。

（2）问题Ⅰ与问题Ⅱ的不同之处是什么？

解：问题Ⅰ与问题Ⅱ的的相同之处是：都要使所有杯子的杯口全部朝下，且每只杯子都要翻动奇数次。不同之处在于：问题Ⅰ中需要翻动的总只数为偶数，每次翻动奇数只，这样翻动偶数次后，总次数有可能达到要求；问题Ⅱ中需要翻动的总只数为奇数，每次翻动偶数只，所以无论翻动多少次总只数都为偶数不可能是奇数。

总结：利用奇偶性分析解题是常用的两种思考方法：

1通过判断题目中某些数的奇偶性，运用奇数和偶数的性质，尤其是奇数不等于偶数的属性，进行研究，使问题得到解决

2 把问题中的考察对象，按某种规律分成两大类，分别对应于奇数与偶数，然后借助于奇偶的性质，对其中的数量关系进行分析，得到某些结果，再把这些结果回到原来考察对象上，使问题得到解决。

解题时，常用反证

练习：

1.在黑板上写上1，2，…，909，只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上a-b（其中a≥b）。问：最后黑板上剩下的是奇数还是偶数？

奇数。解：黑板上所有数的和S＝1+2+…＋909是一个奇数，每操作一次，总和S减少了a+b-（a-b）=2b，这是一个偶数，说明总和S的奇偶性不变。由于开始时S是奇数，因此终止时S仍是一个奇数。

2．19个球队进行比赛，要求每个球队都与其它5个球队比赛一场，这样的安排

的人数是奇数还是偶数？请说明理由。

分析与解：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手1次，对于乙也是握手1次，两人握手次数的和是2。所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。

把聚会的人分成两类：A类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数是奇数的人。

A类中每人握手的次数都是偶数，所以A类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以B类人握手的总次数也是偶数。

握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，那么因为“奇数个奇数之和是奇数”，所以得到B类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾，所以B类人即握过奇数次手的人数是偶数。