工程电磁场导论(第3次课)

ˆ q1 e 1 ＝ F h1h2 h3 q1 h F 1 1
2 2 2
• 拉普拉斯方程和泊松方程
2 2 2 2 2 2 0 x y z
若矢量场仅为无旋场，例如连续分布的体电荷内部， 任意点的散度不为零，须引入泊松方程
2 2 2 2 2 2 x y z
（三）、环量与旋度之间的联系－Stokes定理
利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲面积分 之间的变换关系式，即Stokes定理 环量积分＝旋度的面积分
ls
A d l A d s s
s
方向相反 大小相等 结果抵消
旋度的计算公式 圆柱坐标系下旋度的计算公式：
Az Ay Ay Ax Ax Az ˆx ˆ ˆ rotA e e e y z y x z z x y
五、矢量场的环量与旋度
1 矢量场的环量与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一 类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的 力 线是闭合的。它有以下两个特点： （1）、对于任何闭合曲面的通量积分为零； （2）、在场所定义的空间中闭合路径的积分不为 零。 引入环量与旋度的目的就在于：研究矢量场的 线积分不为零这一问题。
证明：一个标量场的梯度必无旋，一个矢量 场的旋度必无散。
ˆx ˆy ˆx ＝e ＝0 e y z z y e z x x z x y y x
旋度概念的提出：矢量场的环量给出 了矢量场与积分回路所围曲面内旋 涡源的宏观联系。 为了给出空间任意点矢量场与旋涡源 的关系，当闭合曲线 L 所围的面积 趋于零时，矢量场对回路 L 的环量 与旋涡源对于 L 所围的面积的通量 成正比，即：
s 0
J
n F
lim A dl lim J s
r h 3 1 2
正交坐标系下的散度计算公式：
1 F h1h2 h3
1 ˆ rotF eq1 h2 h3
F1h2 h3 F2 h1h3 F3h1h2 q2 q3 q1
正交坐标系下的旋度计算公式：
h3 F3 h2 F2 1 h1 F1 h3 F3 ˆq q q e 2 h h q q 2 3 1 3 3 1 1 h2 F2 h1 F1 ˆq e 3 h1h2 q1 q1 ˆ q2 e q2 h2 F2 ˆ q3 e q3 h3 F3
A
A ar (sinA ) r sin a 1 Ar a Ar (rA ) ( rA ) r sin r r r
§1.5 矢量场的旋度
根据线积分的计算公式，不难得到旋度在直角坐标 系中的表达式为:
Az Ay Ay Ax Ax Az ˆx ˆy ˆz rotA e e y z e z x x y ˆ ˆy e ˆz e e x ＝ F x y z A A A y z x
A A1 A2 A1 , A2 F
其中 A1 为无旋场， A2 为无源场。
Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即 任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无 源场，由旋涡源激发；并且满足：
A2 0
另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：
A1 0
C 0C为常矢量 C f f C fF f F f F F G F G ＝G F F G F G
六、无源场和无旋场
六、Helmholtz定理
对于矢量场必需考虑如下问题： （1）场的特性：矢量场除有散和有旋特性外， 是否存在别的特性？ （2）源的特性：是否存在不同于通量源和旋 涡源的其它矢量场的激励源？ （3）场的唯一性：如何唯一的确定一个矢量 场？
1 矢量场的Helmholtz定理 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、 旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一 确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一 无源矢量场的叠加，即：
0 Ax, y, z dL 0 L
（1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称 该矢量场为无旋场，又称为保守场。 （2)如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零， 称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量 场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。
（二）矢量场的旋度(Rotation)
A dl 0
L
性质二：无旋场可以表示为某标量场的梯度场。
A grad
（三）、调和场 散度和旋度都等于零的矢量场，称为调和场。 根据其无旋性可得：
A
根据其无源性可得：
A 0
引入Laplacian算子
2 2 2 x y z
A Az Ay x y z Ax Az Ay Ax y z x z x y 0
正交坐标系下的梯度公式：
u u u ˆq1 ˆq2 ˆq3 u e e e h1q1 h2q2 h3q3
圆柱坐标系下旋度的计算公式：
1 Az A A Az 1 ( A ) A ˆr ˆ ˆz rotA e z e z e
球坐标系下的旋度计算公式
（一）矢量场的环量
例：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲 线所围曲面Fra Baidu bibliotek电流成正比，即：
B x , y , z dL
L
0
I 0 J x , y , z ds
s
上式建立了磁场与电流的关系。
引入环量概念。矢量场对于闭合曲线L的环量定义 为该矢量对闭合曲线L的线积分，记为：
l s 0
s
矢量场旋度定义为：矢量场在 M 点处的旋度 为一矢量，其数值为包含M点在内的小面元 边界的环量与小面元比值极限的最大值， 其方向为极限取得最大值时小面积元的法 线方向，即：
ˆ lim rotA n s 0
A d l
l
s
Max
（一）、无源场 对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有散度为 零，即：
A 0
则称A为无源场。 性质一：在无源场中穿过场域V中任何一个矢量管的所 有截面的通量都相等。 性质二：无源场存在矢势。
（二）、无旋场 对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有旋 度为零，即：
则称A为无旋场。 A 0 性质一：在无旋场中，A沿场域V的任何闭合路径L 的环量为零。即：