圆的标准的方程和切线问题

圆的标准的方程和切线问题

董恒甫职校 孙宏萍

教学目标:

知识目标：

1. 使学生掌握圆的标准方程和切线的探求过程和方法.

2. 通过教学,使学生学习运用观察,类比,联想,猜测,检验等推理方法,提高学生运算能力,逻辑推理能力.

能力目标：

3. 培养学生勇于探索,坚忍不拔的品质.

教学重点

根据条件求出圆的标准方程或圆的切线方程

教学难点

圆的切线的求法

教学过程:

前面我们学习了曲线和方程的关系，请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？

建系、设点、列式、化简四步曲，用这个方法我们求出了圆心在原点，半径为5的圆方程。

用这个方法能否求出圆心在(,)a b ，半径为r 的圆方程

1．推导圆的标准方程: 222()()x a y b r -+-=

圆的标准方程由哪些量决定？是否可以和平面几何中有关理论联系起来？ 例1 ：已知A （4，9）和B （6，3），求以AB 为直径的圆的方程，并且判断点M （6，9）N （3，3）Q （5，3）是在圆上，圆内，圆外？

由此可见，若点00(,)p x y 在圆 222()()x a y b r -+-=上，点p 的坐标与圆的方程有什么关系？点p 在圆外？点p 在圆内？

00(,)p x y 在圆上⇔22200()()x a y b r -+-=

00(,)p x y 在圆外⇔22200()()x a y b r -+-≥

00(,)p x y 在圆内⇔

22200()()x a y b r -+-≤ 2．直线与圆的位置关系

这道题研究了点与圆的关系，那么直线与圆的位置关系有哪些？相交、相切、相离。

相切是直线和圆的位置关系中比较常见，也比较重要的位置关系，在解析几何中我们研究曲线常常要求出切线的方程，你能求出这圆上一点的切线方程吗？ 例2．已知圆的方程：x 2+y 2=13，求经过圆上一点P （3，2）的切线方程

已知圆的方程：x 2+y 2=9，求经过圆上一点P （3，0）的切线方程

已知圆的方程：x 2+y 2=25，求经过圆上一点P （4，-3）的切线方程

已知圆的方程：x 2+y 2=13，求经过圆上一点P （-3，2）的切线方程

分组运算4小题。通过以上的运算同学们是否发现规律？

若将已知条件中圆的半径改为ｒ，点改为圆上任一点00(,)x y ，结论将会发生 怎样的变化？

推广：这个问题相当于：已知：222x y r +=，求过圆上一点00(,)p x y 的切线方程。

猜测的结果是： 200x x y y r +=

下面请同学们给予证明：

在证明的过程中要注意直线斜率不存在的情况，分类讨论。

1) 切线斜率不存在，2) 半径斜率不存在，3) 切线和半径斜率存在

按照这个方法，若圆的方程是222()()x a y b r -+-= ，求过圆上一点00(,)p x y 的切线方程？

猜测这个结果，并给予证明。

猜测结果为200()()()()x a x a y b y b r --+--=

1) 若切线及半径的斜率都存在，

OP 的斜率010y b k x a -=-，所以切线的斜率00x a K y b

-=-- 即切线方程为 0000()()()()0x a x x y b y y --+--=

2) 若切线或半径的斜率不存在时，切线的方程也是上式。

我们发现，计算的结果与大家猜测的结论不同，问题出在哪里？

通过方程变形，最后得出结论，与同学们猜测的结论一致！

例3．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．

解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=，

∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2，

2=，解得34

k =-， ∴切线方程为31(3)4

y x -=--，即34130x y +-=， 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，

故直线3x =也适合题意。

所以，所求的直线l 的方程是34130x y +-=或3x =．

例4．已知一圆与y 轴相切，在直线y x

=上截得的弦AB 长为30x y -=上，

求此圆的方程．

解：∵圆心在直线30x y -=上，∴设圆的方程为222(3)()x a y a r -+-=， ∵圆与y 轴相切，∴3||r a =，

又圆心到弦AB

|a =

，

∴222|)(3||)a a +=，∴1a =±，3r =，

所以，所求的圆方程为22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=．

说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知

数），再用其余的条件求待定的系数；

3．课堂小结：1 经过圆上一点，有且只有一条切线

2 经过圆外一点，有两条切线

3 求圆的切线时，特别注意点与圆的位置关系，不能盲目的套用公式。

4．作业：课本第88页复习参考题第23题，

补充：

1．过点(1,且与圆225x y +=相切的直线的方程是 ．

2．已知圆C ：22(2)(3)1x y -+-=，求圆的在两坐标轴上截距相等的切线方程．

3．过圆225x y +=外一点(4,0)P 作直线与圆相交于A 、B 两点，求弦AB 的中点

M 的轨迹方程．

4．已知一圆与直线3420x y +-=切于点(2,1)P -，且截x 轴所得弦长为8，求圆的方程．

5．求经过点(0,5)A ，且与直线20x y -=、20x y +=都相切的圆的方程．

教学设计：

1在探询圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几何中常见曲线——圆

2从简单到复杂，一般的，使用观察的，猜测，经验归纳等推理方法，运用一般的解题方法

求出圆：222x y r +=，求过圆上一点00(,)p x y 的切线方程。同时提出思考：若改变条件，若圆的方程是222()()x a y b r -+-=，过圆上一点00(,)p x y 的切线方程？ 在课堂上，通过问题和建议控制研究的方向和进程，帮助学生建立自信心，共同度过难关。

孙宏萍