中级微观经济学第十六讲

第十六讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理
第十六讲
就本章而言，比较有用的一种做题思路： （1）首先求出消费者 1、2 的马歇尔需求函数； （2）利用瓦尔拉斯均衡的概念，假定某个市场处于均衡，在此条件下得出价格之间的
关系式； （3）把价格之间的关系式代入马歇尔需求函数，便可得出瓦尔拉斯均衡时的各消费者
i∈I
xki
−
i∈I
eki
⎟⎞ ⎠
=
0
∑ ∑ ⎜⎛
⎝ i∈I
x ki
=
i∈I
eki
⎟⎞ ⎠
由此，我们可得出第 n 个市场的超额需求也为零，即第 n 个商品市场也实现了均衡。 （此题如同是说已知 n 个数之和为零，又知 n-1 个数为零，问第 n 个数的值为多少？）
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dx11 dx12
= MRS1 = MRS 2 = 5 ； 14
以上做法为什么有误？ 瓦尔拉斯均衡至少有三个限定：（1）均衡时的预算线一定经过初始禀赋点；（2）各个 消费者在均衡时消费束一定在其预算线与效用曲线的切点上；（3）两切点一定是重合 的；以上做法在该死的蓝色字体出现后，只是满足了后两个条件而已。
第十六讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理
3（1）先计算出此系统中两种物品的总量：
e1 = e11 + e12 = 30 + 0 = 30 ; e2 = e12 + e22 = 0 + 20 = 20
由题设给出消费者 1 的效用函数可知，我们可直接得出其需求函数：
x11
=
x12
=
m p1 + p2
)ω12
把上式代入马歇尔需求函数：
( ) x11
p1, p2 ,ω11,ω21
=
α
⎜⎜⎝⎛ω11
+
αω21
(1 − α )ω11
+ +
βω22
(1 − β )ω12
ω21
⎟⎟⎠⎞
( ) x12
p1, p2 ,ω11,ω21
=
(1
−
α
)
⎜⎜⎝⎛
(1
−
αω 21
α )ω11
+ +
βω
2 2
(1 − β
)ω12
ω11
+
ω21
⎟⎟⎠⎞
( ) ( ) ( ) x12
p1, p2 ,ω12 ,ω22
= β ⎜⎜⎝⎛ω11 +
αω21 1 − α ω11
+ +
βω22 1− β
ω12
ω21 ⎟⎟⎠⎞
( ) x22
p1, p2 ,ω12 ,ω22
=
(1
−
β
)
⎜⎜⎝⎛
(1
−
αω 21
α )ω11
+ +
βω22
(1 − β
（吴汉洪 高级微观经济学习题集 经济科学出版社 p172 178-179）
1 让我们先计算出此系统中两种物品的总量：
e1 = e11 + e12 = 18 + 3 = 21 ; e2 = e12 + e22 = 4 + 6 = 10
（1）两消费者的最初的效用为：u1 = (18× 4)2 = 5184 ；u1 = ln 3 + 2ln 6 ≈ 4.68 ，当两消
p2
p2
p1 p2
=
4 11
；Leabharlann Baidu
x11
=
58 4
= 14.5 ； x12
=
58 11
≈ 5.27 ； x12
=
26 4
= 6.5 ； x22
=
52 11
≈ 4.73
由上可知，瓦尔拉斯均衡配置WEAs (Walrasian Equilibrium Allocations)为：
x1 = ( 58 , 58 ) ； x2 = ( 26 , 52 )
e11 + e12 u 11
1
4
u 12
u 31
•
•
•
u42
=
0
∂ϕ ∂λ
=
p1ω11 +
p2ω21
−
p1x11 −
p2 x12
=0
（2） （3）
x12
=
p1 p2
⋅1−α α
⋅ x11 ；
x11 =
p2 p1
⋅α 1−α
⋅ x12
由把以上两式分别代入（3）我们可得出马歇尔需求函数：
( ) ( ) ( ) x11
p1, p2 ,ω11,ω21
= α ⎜⎜⎝⎛ω11
以上的帕累托有效集暗示了它可同时决定两个消费者的消费束，而图中的绿色透镜区 域为帕累托有效集；
e11 + e12
C •
6.5
e 12
u22
•
58
11
u 32
•
e 12 u 31
u 42
•
u 14
A •• B
( ) u12 •
e1, e2
52 11 u11 e22 •D
u 12
o1
14.5
e 11
e11 + e12
（2）我们可以直接利用上一问的各消费者的马歇尔需求函数：
x11 = x12
=
5 p1 p1 + p2
；
xi2 (
p,
m)
=
p2 pi
假定商品 2 的市场出清，根据瓦尔拉斯均衡：
5 p1 +1 − 2 = 0 p1 + p2
p1 p2
=
1 4
；
x11
=
x12
= 1； x12
= 4 ； x22
=1
由上，我们可知瓦尔拉斯均衡配置为： x1 = ( 1,1 )； x2 = ( 4,1 )
)ω12
ω11
+
ω21
⎟⎟⎠⎞
利用以上的五个式子对 ω11 求导：
( ) ∂
p1 p2 ∂ω11
<
0 ； ∂x11 ∂ω11
>
0
；
∂x12 ∂ω11
>
0
；
∂x12 ∂ω11
>
0
；
∂x 22 ∂ω11
<
0
其实，以上所求的市场均衡时的价格比实为瓦尔拉斯均衡时的预算线斜率的绝对值、消 费者 1、2 的边际替代率。而市场均衡时的马歇尔需求函数实为瓦尔拉斯均衡时的消费束。
（2）由题设所给的效用函数可得出各个消费者的马歇尔需求函数：
(x11 p1,
p2 ) =
9
+
2⋅
p2 p1
；
(x12 p1,
p2 ) =
9⋅
p1 p2
+
2
(x12 p1,
p2 ) = 1 +
2⋅
p2 p1
；
(x22 p1,
p2 ) =
2⋅
p1 p2
+
4
假定商品 2 的市场出清，根据瓦尔拉斯均衡：
9 ⋅ p1 + 2 + 2 ⋅ p1 + 4 − 4 − 6 = 0
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第十六讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理
30 p1 + 20 p2 − 20 = 0 p1 + p2 2 p2
p1 p2
=
1 2
；
x11
=
x12
= 10 ； x12
= 20 ； x22
= 10
由上，我们可知瓦尔拉斯均衡配置为： x1 = ( 10,10 ) ； x2 = ( 20,10 )
=
(1 −
β
)⎜⎜⎝⎛
p1 p2
⋅ ω12
+
ω22
⎟⎟⎠⎞
现在，我们假定商品 2 的市场出清（假定商品 1 的市场出清所得出的结论是一致的）（这是 为了得出价格 1 比价格 2 的值，这相当于边际替代率）：
x12 + x22 − ω21 − ω22 = 0
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( ) 赋为 ω1i ,ω2i >> 0,i = 1,2 。求解均衡价格比率和配置，说明它们如何随着 ω11 的变化而变化？
( ) ( ) ( ) 解：消费者 1 的目标为： Max x
u1 x11, x12
=
x11 α ⋅
x1 1−α 2
s ⋅ t ⋅ p1x11 + p2 x12 = p1ω11 + p2ω21
∑ ∑ ∑ n
k =1
pk
⎜⎛ ⎝
i∈I
xki
−
i∈I
eki
⎟⎞ ⎠
=
0
当（n-1）个商品市场已经实现均衡，即（n-1）个商品市场的超额需求为零，这时有：
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n−1
k =1
pk
⎜⎛ ⎝
i∈I
xki
−
i∈I
eki
⎟⎞ ⎠
+
pn
⎜⎛ ⎝
i∈I
xki
−
i∈I
eki
⎟⎞ ⎠
=
0
∑ ∑ pn
⎜⎛ ⎝
( ) ( ) ( ) ( ) 构造拉氏方程：ϕ x11, x12,λ = x11 α ⋅ x12 1−α + p1ω11 + p2ω21 − p1x11 − p2x12
一阶条件：
∂ϕ ∂x11
=
α x11
⋅ u1
−
λp1
=
0
（1）
由（1）/（2）我们可得出：
∂ϕ ∂x12
=
1−α x12
⋅ u1
− λp2
（两个晚上后，我才混沌初开……好险）
2 我们设第 k 种商品的价格为 pk ， k ∈ n ，系统内存在 I（I 为正整数）个消费者，第 i 个消
费者的初始禀赋为 eki ， i ∈ I ，而第 i 个消费者对第 k 种商品的消费量为 xki ，根据瓦尔拉
斯定律可知系统中的超额的市场价值为零（消费者的初始禀赋点与在市场交易完毕的消费 束都落在了其预算线上），即：
的需求； 举个例子：在一个纯交换的经济中，有两个消费者 1、2，两种商品 1、2，两个消费者 1、
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 的效用函数分别为：u1 x11, x12 = x11 α ⋅ x12 1−α ；u2 x12, x22 = x12 β ⋅ x22 1− β ；消费者 i 的禀
4 11
4 11
由以上我们可看出瓦尔拉斯均衡集为帕累托有效集的子集。
（杰弗瑞·A·杰里 高级微观经济理论 第二版 上海财经大学出版社 p183
216）
另一种做法： 瓦尔拉斯均衡（又称市场均衡或竞争均衡，即：按现价每人想购买的每种商品的总量
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第十六讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理
e11 + e12
20
o2
u 11
u 12
u31
•
10
•
A
10 u 12
•
o1
10
u22
u32
( ) e1, e2
•
e11 + e12
综上所述，我们之罗列在一起：
x11 = x12
=
30 p1 p1 + p2
； xi2 ( p, m) =
20 p2 2 pi
假定商品 2 的市场出清，根据瓦尔拉斯均衡：
当消费者 1 达到效用最大化时，其商品 1、2 的消费量必定是相等的，而消费者 1 的 初始效用水平为零，那么任何的经过交易后的消费束所达到的效用水平只要不小于 初始效用水平的话，消费者 1 必定会接受；
而对于消费者
2
而言，根据罗尔恒等式：
xi (
p, m)
=
−
∂v / ∂pi ∂v / ∂m
会得出马歇尔需
同该商品可提供的总量相等；换句话说，若存在一组价格，在此价格的条件下，每个 消费者正在选择他或她的最偏爱的、并且买得起的消费束，而所有消费者的这样的选 择是能够共存的）。该瓦尔拉斯均衡下满足两消费者的边际替代率相等，即：
MRS1 = MRS 2
我们把 x12 = e1 − x11 = 21 − x11 ； x22 = e2 − x12 = 10 − x12 代入得：
费者进行相互交易时，使得系统得到的总效用增大，换句话说，当消费者进行交易后， 各自的效用水平不小于初始效用水平，即：
( ) ⎪⎧u1 =
⎨
x11x12
( ) ⎪⎩u2 = ln x12
2 ≥ 5184 x22 2 ≥ 4.68
当我们把 x12 = e1 − x11 = 21 − x11 ； x22 = e2 − x12 = 10 − x12 代入得出该集的特征函数式：
( ) x12 = 10 − x12 ( ) x11 2 21 − x11
上式变形、整理为：
42x12 − 10x11 − x11x12 = 0
（瓦里安 微观经济学 现代观点 上海人民出版社 p601-612）
我们可推算出瓦尔拉斯均衡： x11 = 14 ； x12 = 5 （图中的 B 点）；
此时的预算线（虚蓝线段）的斜率的绝对值为：
第十六讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理
(1 − α )⎜⎜⎝⎛
p1 p2
⋅ ω11
+ ω21
⎟⎟⎠⎞
+
(1 −
β
)⎜⎜⎝⎛
p1 p2
⋅ ω12
+ ω22
⎟⎟⎠⎞
− ω21
− ω22
=
0
把通过整理，我们可得出市场均衡时的价格比：
p1 p2
* *
=
αω21
(1 − α )ω11
+ +
βω22
(1− β
⎧x1 x2 ≥ 72
⎩⎨(21− x1)(10 − x2 )2 ≥ 108
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第十六讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理
我们设 M 是具有某种特征的元素 x 的全体所组成的集合：
{ ( )( ) } M = x11, x12 x11, x12 ≥ 0 ,[x11 ⋅ x12 ≥ 72] I [ 21 − x11 10 − x12 2 ≥ 108]
求函数：
xi2 ( p, m)
=
m 2 pi
；
（ i = 1,2 ）
把上式变形为
pi
=
m 2xi
代入间接效用函数得出直接效用函数： u(x1, x2 ) =
( )1
x1x2 2
；
由此我们可得出消费者 2 的初始效用水平为零；同样，任何的经过交易后的消费束 所达到的效用水平只要不小于初始效用水平的话，消费者 2 也必定会接受；
+
p2 p1
⋅ω21 ⎟⎟⎠⎞ ；
x 12
p1, p2 ,ω11,ω21
=
1−α
⎜⎜⎝⎛
p1 p2
⋅ ω11
+ ω21 ⎟⎟⎠⎞
同理，我们也可求出消费者 2 的马歇尔需求函数：
( ) ( ) x12
p1, p2 ,ω12 ,ω22
=
β ⎜⎜⎝⎛ω12
+
p2 p1
⋅ω22 ⎟⎟⎠⎞ ；
x 22
p1, p2 ,ω12 ,ω22