第一章.牛顿力学的基本定律

第一章 牛顿力学的基本定律 习题解答

1.1 细杆OL 绕固定点O 以匀角速率ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动，O 点与钢丝间的垂直距离为d ，如图所示。求小环的速度υ和加速度a 。

解：依几何关系知：x d tan θ= 又因为：22

2

d d x xi i i cos d ωυωθ+=== 故：222

2

2(d x )x a 2xx i i d d ω

υω+===

1.2 椭圆规尺AB 的两端点分别沿相互垂直的直线O χ与Oy 滑动，已知B 端以

匀速c 运动，如图所示。求椭圆规尺上M 点的轨道方程、速度及加速度的大小υ与α。

解：依题知：B y (b d)cos θ=+ 且：B y C (b d)sin θθ=-=-+ 得：C *(b d)sin θθ

=

+ 又因M 点位置：M M x bsin ,y dcos θθ==

故有：M M M x i |y j b cos i d sin j υθθθθ=+=-

代入（*）式得：M bccot dc

i j b d b d

θυ=

-++ 即：222

c b cot

d b d υθ=++ 2M M 222

bc bc a i i (b d)sin (b d)sin θυθθ

==-=++ 1.3一半径为r 的圆盘以匀角速率ω沿一直线滚动，如图所示。求圆盘边上任意

一点M 的速度υ和加速度a （以O 、M 点的连线与铅直线间的夹角θ表示）；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。

解：设O 点坐标为（0Rt x ,R ω+）。则M 点坐标为（0Rt x Rsin ,R R cos ωθθ+++） 故：M M M x i y j (R R cos )i R υωωθ=+=+-

222M M a R sin i R cos j R (sin i cos j)υωθωθωθθ==--=-+

1.4一半径为r 的圆盘以匀角深度ω在一半经为R 的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M 点的深度υ和加速度α（用参量θ，Ψ表示）。 解：依题知：r

r

R r

R r

θωϕ=-

=-

-- 且O 点处：k r e cos()e sin()e θθϕθϕ=---

则：M O O OM

R r

r r r r (R r)e re [(R r)cos()r]e (R r)sin()e θ

θϕθϕ'=+=-+=--+---

M

M r r r r r ()sin()e [(R r)cos()r]e (R r)()cos()e (R r)sin()e r sin()e r [1cos()]e θθθ

υϕθθϕθϕθϕθθϕθθϕωθϕωθϕ==--+--+----+--=--+--(){}

r r r r 2r a r ()cos()e r sin()e r ()sin()e r [1cos()]e r cos()e r sin()e r e r r R r cos()e r sin()e R r θθθθυ

ωϕθθϕωθθϕωϕθθϕωθθϕωϕθϕωϕθϕωθωθϕθϕ==----------=----=---+-⎡⎤⎣

⎦-

1.5已知某质点的运动规律为：y=bt,at θ=,a 和b 都是非零常数。（1）写处质点轨道的极坐标方程；（2）用极坐标表示出质点的速度υ和加速度a 。

解：()b 1y r sin bt a θθ=== 得：r b

r csc e a

θθ=

()r 2b a sin a cos b 2r e ae a sin a sin θθθθθυθθ-==+()r b

1cot e e sin θθθθθ

=-+⎡⎤⎣⎦ 1.6已知一质点运动时，经向和横向的速度分量分别是λr 和µθ，这里μ和λ是常数。求出质点的加速度矢量a .

解：由题知：r re e θυλμθ=+ 且：r r,r λθμθ==

故：r r a re r e e e θθυλλθμθμθθ==++-()r r e (r )e θλμθθλμθ=-++ 22

2

r (r )e ()e r

r

θμθμ

λμθλ=-

++

1.7质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点的速度矢量与加速度矢量正交。

证明：设速度为e τυυ=。 则：22

n n d a e e e dt τυυυρρ

=+=

由于e τ与n e 为正交矢量。即得证。

1.8一质点沿心脏线r (1cos )κθ=+以恒定速率v 运动，求出质点的速度υ和加速度a .

解：设()()r r re r e sin e 1cos re θθυθθκθθκθ=+=-++ 且有：()()222[sin ][1cos r]θκθθκθυ-++= 解得：2cos 2

υ

θθ

κ

=

得：()r sin sin ,r cos 22

θθ

θκθυθυ=-=-=

则：r (sin e cos e )22

θθθ

υυ=-+

r r 11a cos e sin e sin e cos e 222222

θθθθθθ

υθυθυθυθυ==----

2r 3(e tan e )42

θυθ

κ=-- 1.9已知质点按 t r e ,t αθβ==运动，分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，经向分量和横向分量。

解：（1）极坐标系下： 由t r e ,t αθβ==得：t r e ,ααθβ==

且设：r re r e θυθ=+ 则：()

2

2

r r r e re r e τθυθθ=+=+

得：()

()

r 2

2

22r r e e e r r r r τθθθ

θ

=

+

++()

()

n r 2

2

22r r e e e r r r r θθθ

θ

=-

+

++

2r r a re re (r r )e r e θθυθθθθ==+++- 22t t r (r )e e 2e e ααθαβαβ=-+

则：径向与横向的分量分别为22t (r )e ααβ-，t 2e ααβ。

1.10质点以恒定速率C 沿一旋轮线运动，旋轮线方程为

x R (s i n ),y

R (θθθ=+

=-+。证明质点在

y 方向做等加速运动。 解：依题意：222222222C x y R (1cos )R sin θθθθ=+=++ 得：C 2R cos

2

θθ

=

则：2

y

a y R(cos sin )

θθθθ==+2

2

23

1sin sin C cos 2

2()4R cos cos 22

θ

θθθθ=+ 22

2

2

2

2

cos sin sin C 2

22(

)4R

cos cos 2

2

θ

θ

θ

θ

θ-=+

2

C 4R = 1.11一质点沿着抛物线2y 2px =运动，如图所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k 倍。若此质点从正焦弦的一端点p (,p)2以速率u 出发，求质点到达

正焦弦的另一端点p (,p)2

-时的速率υ。

解：建立自然坐标系有：2

n d a e e dt τυυρ

=+