《时间序列预测模型》PPT课件

下降)型的发展趋势,则项数n的数值应取较小的数,
这样能取得较好的预测效果.
例1.某企业1月~11月的销售收入时间序 列如下表所示.取n=4,试用简单一次移动 平均法预测第12月的销售收入,并计算预 测的标准误差.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
t
销售 收入
yt
533.8
574.6
606.9
649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1
1102.7
月份 销售收
t
入 yt
M
1
t
yˆt 1 yt1 yˆt1 ( yt1 yˆt1)2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
553.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7
解:
时间t
1 2 3 4 5 6 7 8 9
价格观 指数平 预测值
测值 yt 滑值 St yˆt 1 yt1 yˆt1 ( yt1 yˆt1)2
16.41 16.41
17.62 16.89 16.41
1.21
1.46
16.15 16.59 16.89
-0.74
0.55
15.54 16.17 16.59
158542.7
yˆ12
M111
y11
y10 4
y9
y8
1102.7 1015.1 963.9 892.7 4
993.6万元
为第12月份销售收入的预测值.
预测的标准误差为:
S
yt1 yˆt1 2
N n
158542.7 150.5 11 4
二、加权一次移动平均预测法
简单一次移动平均预测法，是把参与平均的数据在预测中所起的作用同等对待，但 参与平均的各期数据所起的作用往往是不同的。为此，需要采用加权移动平均法进行 预测，加权一次移动平均预测法是其中比较简单的一种。
591.3 634.1 683.5 735.8 796.6 861.3 922.0 993.6
591.3 634.1 683.5 735.8 796.6 861.3 922.0
993.6
113.8 137.9 132.9 156.9 167.3 153.8 180.7
12950.4 19016.4 17662.4 24617.6 27989.3 23654.4 32652.5
yˆ4
W1 y3 W2 y2 W1 y1 W3 W2 W1
3 606.9 2 574.6 1 533.8 584.0 3 21
yˆ12
W1 y11 W2 y10 W3 y9 W1 W2 W3
31102.7 21015.11 963.9 1050.4 3 21
S 80810.7 100.1 11 3
t 1期预测值的计算公式为:
yˆ t 1
M
1
t
yt
yt1 n
yt n 1
1 n
n j1 ytn j
上式中: yt表示第t期实际值;
M
1表示
t
第t期一次移动平均数;
yˆt1表示第t 1期预测值t n.
其预测标准误差为:
S
yt1 yˆt1 2
N n
上式中, N为时间序列yt 所含原始数据的个数.
项数n的数值,要根据时间序列的特点而定,不
宜过大或过小.n过大会降低移动平均数的敏感性,影
响预测的准确性;n过小,移动平均数易受随机变动的
影响,难以反映实际趋势.一般取n的大小能包含季节
变动和周期变动的时期为好,这样可消除它们的影响.
对于没有季节变动和周期变动的时间序列,项数n的
取值可取较大的数;如果历史数据的类型呈上升(或
一元线性回归模型
例 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下: 身高 143 145 146 147 149 150 153 154
腿长 88 85 88 91 92 93 93 95
身高 155 156 157 158 159 160 162 164
腿长 96 98 97 96 98 99 100 102
得直线方程 v A bu
3 指数曲线 y aebx
4 倒指数曲线 y aeb/ x
5 对数曲线 y a b log x
6
S型曲线
y
a
1 bex
例 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐 火材料的侵蚀，容积不断扩大。我们希望知道使 用次数与增大的容积之间的关系。对一钢包做试 验，测得数据如下：
三、指数平滑预测法
1、一次指数平滑预测法
一次指数平滑预测法是以 1 i为权数0 1,
i 1,2,3,对时间序列yt 进行加权平均的一种预测
方法.
yt的权数为
,
yt
的权
1
数为
1
,
yt
的权
2
数为
1 2,,以此类推.其计算公式如下:
yˆt1 St1 yt 1 St11
其中: yt表示第t期实际值;
最小二乘法确定参数的估计值
bˆ0
y
bˆ1x
, bˆ1
x xi y
x x2
y
,
x
1 n
n i 1
xi
,
y
1 n
n i 1
yi
bˆ0 , bˆ1的计算公式可通过求解如下的优化问题得到
min Q yi b0 b1xi 2
回归方程的显著性检验
在实际工作中,事先我们并不能断定y与x之
间有线性关系。当然，这个假设不是没有根据，我 们可以通过专业知识和散点图作粗略判断。但在求 出回归方程后，还需对线性回归方程同实际观测数 据拟合的效果进行检验。
售额
2、一公司某种产品的市场销售量按年变化的时间序 列资料如下表，取平滑系数为0.7,初值为前三年数 据的平均值,用一次指数平滑法预测其下一年的销售 量(单位:吨).
年度 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
销售量 874.5 1121.1 1103.3 1085.2 1089.5 1124.0 1249.0 1501.9 1866.4
-1.05
1.10
17.24 16.59 16.17
1.07
1.14
16.83 16.68 16.59
0.24
0.06
18.14 17.26 16.68
1.46
2.13
17.05 17.18 17.26
-0.21
0.04
17.18
6.48
S
1
0
y1
16.41
S11 y1 1 S01 16.41
时间序列预测模型
时间序列是指把某一变量在不 同时间上的数值按时间先后顺序排列起 来所形成的序列,它的时间单位可以是分 、时、日、周、旬、月、季、年等。时 间序列模型就是利用时间序列建立的数 学模型，它主要被用来对未来进行短期 预测，属于趋势预测法。
一、简单一次移动平均预测法
设时间序列为yt ,取移动平均的项数为n,则第
y
x
作变换u 1/ x, v 1/ y,得 v a bu
由数据值xi , yi ,i 1,2,, n按ui 1/ xi , vi 1/ yi算出ui , vi ,
对u与v利用前面的回归直线公式,计算估计值ˆ0, ˆ1.故有
1 y
ˆ0
ˆ1
x
2 幂函数曲线 y axb
取对数: log y log a b log x,令u log x, v log y, A log a
还没有一个很好的统一的选值方法, 一般是根据经验来
确定的.当时间序列数据是水平型的发展趋势类型,可
取较小的值,在0 ~ 0.3之间;当时间序列数据是上升(或下
降)的发展趋势类型,应取较大的值,在0.6 ~ 1之间.在进 行实际预测时, 可选不同的值进行比较, 从中选择一个 比较合适的值.
指数平滑法平滑值的计算还需给出一个初值S01 , 可取原时间序列 的第一项或前几项的算术平均值为初值.
y 0 1x
其中
、
0
1是两个未知参数, 为其它随机因素对y的影响.
x是非随机可精确观察的， 是均值为零的随机变量， 是
不可观察的。
一般地, 称一元线性回归模型为:
Ey00 ,D1
x 2
0, 1称为回归系数, x称为回归变量.
两边同时取期望得:
y 0 1x
称为y对x的回归直线方程.
由观测或实验获得n组数据xi , yi ,i 1,2,, n.运用
yt表示第t期实际值; yˆtT 表示第t T期预测值;表示平滑系数.初值
S02的取值方法与S01的取法相同.
预测的标准差为:
n
yt yˆt 2
S t1 n2
二次指数平滑预测法适用于时间序列呈 线性增长趋势情况下的短期预测.
例3 仍以例2为例.试用二次指数平滑预测法预测第
9个交易日的收盘价S02
S
1
0
y1,
0.4
.
1、某商场1~12月份的销售额时间序列数据如下表所示。 取试用简单一次移动平均法和加权一次移动平均法 （取W1=3，W2=2，W3=1）预测下年一月份（第13月） 的销售额（单位：万元）
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
实际销 49 53 55 59 50 51 52 52 51 52 53 59
使用次数 增大容积 使用次数 增大容积
2
6.42
10
10.49
3
8.20
11
10.59
4
9.58
12
10.60
5
9.50
13
10.80
6
9.70
14
10.60
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10.00
15
10.90
8
9.93
当 b1 越大, y随x的变化趋势就越明显;反之,当b1 越小, y随x 的变化趋势就越不明显, 特别当b1 0时,则认为y与x之间不存 在线性关系.当b1 0时,则认为y与x之间有线性关系.因此,问题 归结为对假设
H0 : b1 0; H1 : b1 0 进行检验.假设H0 : b1 0被拒绝,则回归显著,认为y与x存在线 性关系,所求的线性回归方程有意义;否则回归不显著, y与x不 能用一元线性回归模型来描述.
一次指数平滑法适用于变化比较平稳、 增长或下降趋势不明显的
时间序列数据的下一期的预测.
例2 下表数据是某股票在8个连续交易日的收盘价,试用一次指数
平滑法预测第9个交易日的收盘价(初值S01 y1, 0.4).
时间 t 1 2 3 4 5 6 7 8
价格观测 16.41 17.62 16.15 15.54 17.24 16.83 18.14 17.05 值 yt
S
1
2
y2
1
S11
0.417.62 0.616.41 16.89
S31
y3
1
S
1
2
0.416.15 0.616.89 16.59
yˆ9 S81 y8 1 S71 17.18
S 6.48 0.96 8 1
2.二次指数平滑预测法
二次指数平滑预测法是对一次指数平滑值再作一
为了研究这些数据之间的规律性,作散点图。数据大
致落在一条直线附近，这说明x（身高）与y（腿长）
之间的关系大致可以看作是直线关系。不过这些点又
不都在一条直线上，这表明x和y之间的关系不是确定
性关系。
实际上, 腿长y除了与身高x有一定关系外,还受到许多
其它因素的影响.因此y与x之间可假设有如下结构式 :
计算公式如下:
yˆ t 1
W1 yt
W2 yt1 W1 W2
Wn Wn
yt n 1
n
Wi ytn1
n
Wi
i 1
i 1
其中: yt表示第t期实际值;
yˆt1表示第t 1期预测值;
Wi表示权数;
n 表示移动平均的项数.
预测标准误差的计算公式与简单一次移动平均相同.
仍以例1为例,取n 3,并取权数W1 3,W2 2,W3 1, 试用加权一次移动平均预测法预测12月份的销售收入.
yˆt
表示
1
第t
1期预测值;
St11 , St1分别表示第t 1, t期一次指数平滑值;
表示平滑系数,0 1.
预测标准误差为:
n1
yt1 yˆt1 2
S t1 n 1
上式中, n为时间序列所含原始数据个数.
平滑系数的取值对预测值的影响是很大的,因此, 利用指数平滑法进行预测,的选值是很关键的, 但目前
次指数平滑来进行预测的方法,但第t+1期预测值并
非第t期的二次指数平滑值,而是采用下列公式进行
预测:
SSt2t1
yt 1 St1 1
St11 St21
yˆtT at btT
其中: at 2St1 St2 ,
bt
1
St1 St2
St1表示第t期的一次指数平滑值; St2表示第t期的二次指数平滑值;
1 F检验法
统计量
n
yˆi y2
F
n
i 1
yi yˆi 2
n2
~ F1, n 2
i 1
当F F1 1, n 2 时,拒绝H0;否则就接受H0.
2 判定系数R2
R2
1
y y
yˆ 2 y 2
R 2越接近1, 拟合程度越好; 反之越差.
可线性化的一元非线性回归（曲线回归）
1 双曲线 1 a b