中考数学 热点专题一 数与式

热点专题一 数与式
【考点聚焦】
“数与式”包括有理数、实数、代数式、整式与分式四个部分．数与式渗透后面各部分内容之中，联系着所有数学知识．它是开展数学学习和研究的基础，也是中考的重要考点之一．
数与式的考题一般以填空、选择或解答题的形式出现．这部分内容的考题难度不大，但涉及的基本概念和知识点较多．
实数：理解有理数、无理数、数轴、相反数、倒数、绝对值、近似数、有效数字、平方根、算术平方根、立方根的概念．知道实数与数轴上的点一一对应，并会求一个数的相反数、倒数、绝对值．会用科学记数法表示一个数，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值．能正确运用实数的运算法则进行实数的混合运算．理解实数的运算律，并能运用运算律简化运算．能运用实数的运算解决简单的问题．会用各种方法比较两个实数的大小．
整式：了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算；掌握平方差公式和完全平方公式，并了解其几何背景，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解． 分式：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方及混合运算．
二次根式：了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单四则运算．
代数式：理解用字母表示数的意义，能分析简单问题，并能用代数式表示，能解释简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值． 【热点透视】
热点1：实数及有关概念的考查（包括有理数、数轴、相反数、绝对值）
例1 （1）（2008长沙）请写出一对互为相反数的数：_________和_________． 答案不惟一，如：1和1-．
点评：题型新颖．只需给出很简单的一对数即可．如：1+，1-．
（2）如右图，数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C ，若点C 表示的数为1，则点A 表示的数为（ ）
（A ）7 （B ）3 （C ）3- （D ）2- 答案：（D ）
点评：考查数轴上两点之间的距离，若A 点对应a ，B 点对应b ，则AB a b =-．
（3）实数
22
7
1，2π，0，3- ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案：（Ｄ）
点评：要准确的把握有理数、无理数的概念，不能片面地从形式上判断．另外，有些数
能化简的，要先化简，以最简结果进行分类．如：01=3=，33-=． （1）有理数的分类和判断．（2）求一个数的相反数、绝对值和倒数．（3）利用数轴化简绝时值，或比较大小这些内容是中考的常客．对实数知识点的考查仍以基本题型为主，
考查时多以填空、选择题形式出现，题目中包含若干个知识点，同时渗透数形结合思想． 热点2：科学记数法、近似数、有效数字的考查 例2 （1）（2008郴州）国家AAAA 级旅游区东江湖的蓄水量为81．2亿立方米，81．2亿这个数用科学记数法表示为_____________． 答案：9
8.1210⨯．
（2）（2008怀化）怀化市2006年的国民生产总值约为333．9亿元，预计2007年比上一年增长10%，表示2007年怀化市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）（ ） （Ａ）10
3.6710⨯元 （Ｂ）10
3.67310⨯元 （Ｃ）11
3.6710⨯元 （Ｄ）8
3.6710⨯元
答案：（A ）．
认识和表达生活中的数据，是课标设置的主要内容之一．科学记数法、近似数、有效数字的考查是中考前两题中经常出现的题目，这类题目往往和生活相联系．
热点3：实数的运算能力的考查（包括零指数幂、负整数指数幂性质的运用） 例3 （1）（2008邵阳）13--等于（ ） （A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4- 答案：（D ）．
（2）（2008
永州）计算：02
1111sin3020072-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
答案：-．
点评：考查实数的运算法则、方法、技巧．运算时要认真审题，确定符号，明确运算顺
序，灵活运用．
（3）（2007邵阳）下列各数与最接近的是（ ）
（A ）2．5 （B ）2．6 （C ）2．7 （D ）2．8 答案：（B ）．
点评：考查开方和乘方是互为逆运算，不好直接估算出来，要反过来计算各数的平方． （4）（2008邵阳）小明设计了一个关于实数的运算程序如下，当输入x 的值为时，则输出的数值为________．
答案：1．
点评：
渗透编程中框图的思想．其实就是计算：当x =
21x -的值．
实数的混合运算中，运算顺序和运算技巧，零指数幂和负指数幂等是中考中的热点，实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算，一般难度不大． 热点4：整式的运算及同底数幂乘法法则、积和幂的乘方法则、乘法公式的运用的考查（包括因式分解）
例4 （１）（2008常德）下列运算正确的是（ ）
（A ）236a a a =
（B ）2
2
1
24a a
--=-
（C ）235()a a -= （D ）222
23a a a --=- 答案：（D ）．
点评：考查幂的运算．熟练掌握幂的运算公式．不要搞混．
（2）（2008株洲）若32m x y 与23n x y -是同类项，则m n +________． 答案：5．
点评：同类项是所含字母相同且相同字母的次数也相同．从而，2m =，3n =． （3）（2008长沙）先化简，再求值：
22()()a a b a b +
-+，其中a =b =
答案：化简为：2
2
a b -，值为1．
点评：一定要先化简再求值．不要直接代入求值． （4）（2007常德）分解因式：2
2b b -= _______． 答案：(2)b b -．
点评：因式分解的一般方法，先提取公因式，然后再考虑是否能运用公式法．要注意整体代换的思想．
考点主要是用代数式表示数量关系，单项式的系数、次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．有时也出现与其他知识的综合题和探索型题．为此，应重视通过对特殊现象的研究而得出一般结论的方法，即数学上常用的归纳法．
热点5：非负数的考查（包括a 0a ≥）、2
a 的非负性．）
例5 （1）（2008娄底）如果a ，b 是任意的两个实数，下列各式中的值一定是负数的是（ ）
（A ）1b -+ （B ）2()a b --
（C ） （D ）2
(1)a -+
答案：（D ）．
点评：考查a 2
a 的非负性．只有2
(1)a -+不能为0，其它可以为0．
（2）若10a +，求ab ． 答案：4．
点评：利用a 2a 的非负性，而1a +0，只有10a +=，
50a b ++=，解得：1a =-，4b =-，再代入计算．
a 2
a 的非负性，是中学数学中一个很重要的性质．利用它们的这个性质，可以处理很多问题，应用很广．
热点6：分式的意义、分式的基本性质及分式的混合运算考查
例6 （1）（2006永州）当x _________时，分式
2
2
x x +-有意义． 答案：2x ≠．
点评：分式有意义，分母必须不为0．即20x -≠．
（2）（2007郴州）分式
2
5
m +的值为1时，m 的值是（ ） （A ）2m = （B ）2m =- （C ）3m =- （D ）3m =
答案：（C ）．
点评：让分式等于1，然后解分式方程． （3）（2008张家界）已知分式：2
21A x =
-，11
(1)11B x x x
=+≠±+-．下面三个结论：①A ，B 相等；②A ，B 互为相反数；③A ，B 互为倒数．请问哪个正确？为什么？
答案：②．
点评：题型新颖．其实就是计算B ， 再与A 进行比较．
分式的考点主要是分式有意义、分式的值，分式的运算、分式的化简、求值的方法和技巧．命题形式有填空题、选择题，有关运算、化简求值的题目多以解答题的形式出现． 热点7：二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，二次根式的性质及计算的考查
例7 （1）（2008娄底）16的平方根是_____． 答案：±4．
点评：注意平方根、算术平方根的区别．
（2）（2008x 应满足的条件是（ ） （A ）3x ≥ （B ）3x < （C ）3x > （D ）3x ≤ 答案：（A ）．
点评：被开方数必须大于或等于0，不要忘了等号．
（3）（2008_______．
点评：先化成最简二次根式，再合并．
重点考查最简二次根式、同类二次根式的概念，以及二次根式的化简、求值．通常以填空题、选择题的形式出现，常与一元二次方程、函数等知识相联系． 热点8：探究规律，发现规律的考查
例8 （1）（2008张家界）观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2 007个数是（ ） （A ）2007
2
（B ）2007
2
1- （C ）20082 （D ）20062
答案：（C ）．
点评：第1个数：2
42=；第2个数：382=；第3个数：4
162=；…第2 007个数：
20082．认真观察，从特殊到一般．
（2）（2008常德）观察下列各式：
32
11= 3
3
2123+=
3
3
31236
++
=
3
3
3
3
123410+++= ……
猜想：3
3
3
3
12310+++++= _________． 答案：255．
点评：1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10 … ∴3
3
3
2
1231055.121055++++=+++= ．
（3）（2008邵阳）观察：111122=-⨯，1112323=-⨯，111
3434
=-⨯将以上三个等式两边分别相加得：
1111111113111223342233444
++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． ①猜想并写出：
1
(1)
n n =+ _________．
②直接写出下列各式的计算结果：
111112233420062007
++++=⨯⨯⨯⨯ _________． 1111
122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯+ _________． ③探究计算：1111
24466820062008++++⨯⨯⨯⨯ ． 答案：①111n n -+；②20062007，1n n +；③1003
4016
．
点评：认真观察：
111
(1)1
n n n n =-++．
111112233420062007++++⨯⨯⨯⨯ 1111111112233420062007
=-+-+-++- 12006120072007
=-=．
而③中原式111111111111224246268220062008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11111112244620062008⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭
1111003
2220084016
⎛⎫=-=
⎪⎝⎭． 归纳、猜想型试题是近年中考出现的新题型，其特点是：给出一组具有递进关系的数、式子、图形，或某个由简单到复杂的操作过程，或某一具体的问题情境，通过探求其变化过程中的规律，归纳或猜想出一般性的结论；有的题目还要求对结论的正确性加以验证．解答这类试题的思路是：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论． 【考题预测】
1．_____的倒数是1
1
2
-； 0.28的相反数是_____． 2．当x _______时，分式2
5
x x -+有意义．
3x 的取值范围______．
4．如下图，是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为1-时，则输出的数值为_________．
5．3π-的绝对值是________．
6．（1）数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是_______．
（2）数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_____，如果2AB =，那么
x =________．
7．当代数式2
35x x ++的值为7时，代数式2
392x x +-的值是_______． 8．如果2x
a =，3y
a =，则23x y
a
+=________．
9．下列说法中，不正确的是（ ）
（A ）1-的平方是 1 （B ）1-的平方根是1- （C ）1-的立方是1- （D ）1-的立方根是1-
10的值等于（ ）
（A ）3- （B ）3 （C ）9 （D ）9-
11．如果a 是实数，那么下面说法正确的是（ ） （A ）a -一定是负数 （B ）a 一定是正数
（C ）a 的倒数是 （D
12 ）
（A
（B
（C
（D
13．下列运算中错误的是（ ）
（A ）23
a a a =
（B ）236a b ab += （C ）422
a a a ÷= （D ）222()a
b a b -= 14．如果a b >，那么一定有（ ）
（A ）a b > （B ）a b = （C ）a b < （D ）a b ≠
15
3a =-的正整数a 的值有（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
16．计算题：（1
）1
01(12cos302-⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
；
（2）2(21)(21)(21)a a a +-+-； （3）
1111x x
+-+； （4
）2
6a 17．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下：
2＝1×2 2+4＝6＝2×3 2+4+6＝12＝3×4 2+4+6+8＝20＝4×5 2+4+6+8+10＝30＝5×6 …… 2462n ++++= __________．
利用上式计算：（1）246200++++ ；
（2）40+42+44+ (400)。