量子统计理论从经典统计到量子统计量子力学对经典

第三章 量子统计理论

第一节 从经典统计到量子统计 量子力学对经典力学的改正 波函数代表状态 (来自实验观测) 能量和其他物理量的不连续性

（来自Schroedinger 方程的特征） 测不准关系

（来自物理量的算符表示和对易关系） 全同粒子不可区分

（来自状态的波函数描述） 泡利不相容原理 （来自对易关系） 正则系综

ρ不是系统处在某个()q p ,的概率，而是处于某个量子

态的概率，例如能量的本征态。 配分函数 1E n

n

Z e k T

ββ-==

∑

n E 为第n 个量子态的能量，对所有量子态求和 （不是对能级求和）。

平均值

1

E n

n e Z

β-O =

O ∑

O 量子力学的平均值

第二节 密度矩阵 量子力学 波函数

∑ψΦ=ψn

n

n C ,

归一化

平均值

∑ΦO Φ=ψO

ψ=O *m

n m n m n C C ,ˆˆ 统计物理

系综理论：存在多个遵从正则分布的体系 ∴

∑ΦO Φ=

O *

m

n m

n m n

C C

,ˆ 假设系综的各个体系独立，m n C C m n ≠=*

,0

理解：m n C C *是对所有状态平均，假设每个状态出现的概率为

...)(...m C ρ，对固定m ，－m C 和m C 以相同概率出现，所以

∑ΦO Φ=O *n

n

n n n C C ˆ 如果选取能量表象，假设n n C C *按正则分布，重新记n n C C *

为n n C C *

1E n

n n

C C e Z

β-*=

这里

n

n n E H Φ=Φˆ

引入密度矩阵算符ρ

ˆ

[]n

n n C H

Φ=Φ=2

ˆ0ˆ,ˆρ

ρ

显然

∑ΦΦ=n

n n

n C 2

ˆρ

， ˆˆ,0H ρ⎡⎤=⎣⎦

∴

∑ΦO

Φ=O n n ρˆˆ ()

ρˆˆO

=r T 归一化条件 1ˆ=ρ

r T 一般地 H e Z

ˆ1ˆβρ

-=

()

H r e T Z

ˆˆ1β-O =O H r e T Z ˆβ-=

这样，计算可以在任何表象进行 微正则系综

⎪⎩⎪⎨⎧∆+〈

〈Ω=ΦΦ=∑其它

1

ˆ2

2

E E E E

C C n

n

n

n n

n ρ

(E ∆ « E)

巨正则系综

(

)

()ˆˆˆˆ0

1ˆˆH N H N r N

E N n

n

e N

Z

Z T e

e

e

βμβμββμρ⎡⎤--⎣⎦⎡⎤--⎣⎦

∞

-====∑∑粒子数算符

n 为N 固定的量子态

第三节 玻色－爱因斯坦分布(BE)和费米－狄拉克分布（FD ） 体系：N 个独立的全同粒子，N 可变 单粒子能级i ε 巨正则分布

,N E N

n

n Z e N αβαβμ

--==-↑∑

∑对固定，所有量子态求和

量子态：粒子按单粒子量子态的分布

{}

,

i n

态粒子数

第i N

n

i

i

↑=∑

注意：i 不是粒子的指标，而是态的指标

(){}

()()

i

i i

i N

n n i i

i i

n n Z e

e

αβεαβε-

-

++∑=∑=∑

∑∑

↑ N 可变的分布

()()

()i i

i

n i

i

i

n i i i i

n n Z e

e

Z αβεαβε-

+-+=∏=∏≡∏∑∑

这里 i 记单粒子态

例：单粒子两能级系统，玻色子，没简并

()()()()⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==

∑∑∑

∞=+-∞=+-+-+-00,2221112

12

211n n n n n n n n e e e Z εβαεβαεβαεβα

计算平均粒子数

()()()()()

()

{}

11

11j

j

j j i n N

n j

n j i

n j j

j j j j j

i

n i i n i n i n i i

n n n n e

Z

Z e n Z n e

e

Z

αβεαβεαβεαβερ-

-≠++-+-+∑=

=⎛

⎫

=∏ ⎪⎝⎭

=∏∑∑

∑∑∑∑

∴

(

)ln 1i

i i

i n i

i i

n Z n e

Z n αβεα

-+∂=

=-∂∑

（i ） 玻色－爱因斯坦情形

11i

i Z e

αβε--=

-

∴

,11i BE i

e

n αβε+=

-

（ii ） 费米－狄拉克情形

i n 只能取0，1两个值

()

,111

i FD i i

i

Z e

e

n αβεαβε-++=+=

+

若第l 个能级l ε有l g 个简并量子态，则共有粒子

,1

l

BE l l l FD

l

g a

g n e

αβε++==

， αβμ=-

平均粒子数,l

l N a =∑若N 足够大，涨落相对可忽略，N 可认为

常数。