有限元与数值方法讲稿

vT B(u)d (v1B1(u) v2B2 (u) ...)d 0
则该积分表达式与微分表达式 Bu 0 x 完全等效。
故称 vT A(u)d vTB(u)d 0 为原微分方程
Au 0 x
Bu 0 x
的等价积分形式。
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等价积分形式
等价积分方程对函数连续性的要求：函数是可积的。 被积函数在区域上有有限个间断点，则可积
k
T x i
0
积分提法：对于所有可能的解（u(x))中，真 实的解应满足下式
vxAu Q ds 0; vx
积分形式的近似解法：
在有限个可能的解中，真实解的近似解为使下式 取极小的解。
R vx Au Q ds
2
微分方程的等价积分形式
微分方程的算子形式
在域内： Au 0 x 边界上： B1 u 0 xu
EA
dx
0
LT
0
dv dx
du dx
v
cx EA
dx
v
du dx
LT
0
0
vT B(u)d (v1B1(u) v2B2 (u) ...)d 0
v1u( x
0)
v2
(
AE
du(x dx
LT
)
P)
0
设解和试函数的形式各为 注意解已经满足强制边界条件
u% a1x a2 x2 v1 x, v2 x2
Galerkin方法
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自然边界条件的概念
对于微分方程的等价积分形式及其弱形式，
vT A(u)d vTB(u)d 0
C(v)T D(u)d E(v)T F(u)d 0
如果能通过选择试函数消去边界积分项，将给积分带来方便。能够实 现这一点的边界条件成为自然边界条件。
指定函数值本身的边界条件不是自然边界条件，成为强制边界条件。
B2 u q 0 x q
其中，A，B1，B2为微分算子
vx Au Q ds u v1 x B1 u u ds q v2 x B2 u q ds 0
vx,v1 x,v2 x
对于满足微分方程及其边界条件的解 u ,上式显然是成立的；
如果对任意的函数v(x)，上式成立，则可以证明u是微分方程
1
0
dv dx
d%
dx
v%dx
v
d%
dx x1
v
d%
dx x0
v
d%
dx
20 x1
0
为消去边界上未知函数的导数项，选取试函数之间满足如下关系：
v(0) 0, v(1) v (1)
这样，弱形式成为
1
0
dv dx
d%
dx
v%dx
20v
x1
以上弱形式中，不再出现未知函数导数的边界条件，即该边界条件在 上式中自动满足，称为自然边界条件。
u连续： C0连续
u 连续： x
C1连续
右图函数是 C0 连续的，其二阶导数不可积
等价积分形式可积的条件：
1. v和v 单值且在域内和边界上可积分
2. 若 A 的最高阶导数为n，则u 的n-1 阶导数
必须连续，即u 具有 Cn-1 连续性
6
vx Au Q ds u v1 x B1 u u ds q v2 x B2 u q ds 0
如果F(X)=0代表了微分方程，则上面定理和引理建立了微分方程 和其积分形式之间的联系
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等价积分形式
若对任意函数列向量 v [v1 v2 ...]T 有
vT A(u)d (v1A1(u) v2 A2(u) ...)d 0
则该积分表达式与微分表达式 Au 0 x 完全等效。
同理，若对任意函数列向量 v [v1 v2 ...]T 有
AE du P dx xLT
该方程积分后可得 u P x cLT 2 x c x3 EA 2EA 6EA
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一维问题的弱形式例子
微分方程的积分等价形式为
分部积分得到弱形式：
LT
d 2u cx
0
v( x)
dx2
EA
dx
0
边界条件的等效积分形似：
LT
d 2u cx
0
v( x)
dx2
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一维问题的弱形式例子
一维问题可以通过分部积分将等价积分形式转化为弱形式
例：受轴向分布载荷 q(x) cx 和端部集中力 P 的均匀杆
微分方程表达形式为
A d x q(x) 0
dx
x
E x
E
du dx
d 2u cx 0 dx2 EA
(0 x LT )
显然，真实解是三次 多项式
u 0 x0
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归纳：强式和弱式的对比
强式
可直接求得系统方程的精确解 困难：复杂问题难以获得精确解；
数值求解时，近似函数要求有与微分方程同阶的可导性。 有限差分法属于基于强式的数值方法。
有限元与数值方法第四讲
微分方程的等价积分形式
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@dlut.edu.cn 教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月07日：8：00—10：20
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基于积分方程的数值方法的基本思想
微分提法：真实解在任意点均满足微分方程
AT
(x)
xi
的解。
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微分方程的等价积分形式
(一) 预备知识
显然，如果在区域Ω上， F x几乎处处为零，则对任意的 g(x) 有
Fx gxdx 0
引理:如果对任意的g(x)，恒有 Fx gxdx 0
则
Fx 0
或采用数学的语言描述
Fx gxdx 0 gx x
上式成立的条件是要求函数可积。
Fx 0 x
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自然边界条件的概念
例如，考虑问题：
d 2
dx2
0
0= 0
d = 20
dx x1
0 x 1
如果近似解 %满足x=0处的边界条件，但不满足x=1处的边界条件， 则加权残数列式应反映域内的微分方程和x=1处的边界条件，即
1
0
v
d
Байду номын сангаас
2%
dx2
%dx
v
d%
dx
20 x1
0
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自然边界条件的概念
第一项分部积分给出
vx,v1 x,v2 x
取： v1x vx u
v2 x vx q
上式可得到简化
对于满足微分方程及其边界条件的解 u ,上式显然是成立的；
如果对任意的函数v(x)，上式成立，则可以证明u是微分方程
的解。
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积分弱形式
vT A(u)d vTB(u)d 0
在很多情况下，可以通过分部积分方法将前述积分方程转化为另外一个等价形式：
C(v)T D(u)d E(v)T F(u)d 0
其中，D 和 F 通常包括相对 A 和 B 较低阶的导数。
这一形式称为微分方程的“弱形式”。
解函数的连续性降低，其代价是试函数连续性要求提高了。
弱形式经常是描述物理现象更为合理的形式，因为微分方程往 往对解提出了过于光滑的要求。
对弱形式进行积分，是有限元方法的重要基础