一次函数中常见解决实际问题题型解析

一次函数中常见解决实际问题题型解析

一、图象型

例1在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品.经试验这种药品的效果得知：当成人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8小时时血液中含药量为每毫升1.5微克.每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后：

(1)分别求出x≤1，x≥1时y与x之间的函数关系式；

(2)如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？

解析　本题涉及的背景材料专业性很强，但只要读懂题意，用我们学过的函数知识是不难解答的.题目的主要信息是由函数图象给出的，图象是由两条线段组成的折线，可把它看成是两个一次函数图象的组合.

(1)当x≤1时，设y=k1x.将(1，5)代入，得k1=5.

∴y=5x.

当x＞1时，设y=k2x+b.以(1，5)，(8，1.5)代入，得，

∴

(2)以y=2代入y=5x，得；

以y=2代入，得x2=7.

.

故这个有效时间为小时.

注：题中图像是已知条件的重要组成部分，必须充分利用.

二、预测型

例2随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列问题：

(1)求入学儿童人数y(人)与年份x(年)的函数关系式；

(2)利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人？

年份(x) 2000 2001 2002 …

入学儿童人数(y) 2520 2330 2140

解析　建立反比例函数，一次函数或二次函数模型，考察哪一种函数能较好地描述该地区入学儿童人数的变化趋势，这就要讨论.若设(k＞0)，在三点(2000，2520)，(2001，2330)，(2002，2140)中任选一点确定k值后，易见另两点偏离曲线较远，故反比例函数不能较好地反映入学儿童人数的变化趋势，从而选用一次函数.

(1)设y=kx+b (k≠0)，将(2000，2520)、(2001，2330)代入，得

故y=-190x+382520.

又因为y=-190x+382520过点(2002，2140)，所以y=-190x+382520能较好地描述这一变化趋势.

所求函数关系式为y=-190x+382520.

(2)设x年时，入学儿童人数为1000人，由题意得-190x+382520=1000.解得x=2008.所以，从2008年起入学儿童人数不超过1000人.

注：从数学的角度去分析，能使我们作出的预测更准确.本题也可构造二次函数模型来描述这一变化趋势.

三、决策型

例3某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价(含设备损耗等)为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生.为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.

方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.

方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费.

(1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式(利润=总收入-总支出)；

(2)如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.

解析　先建立两种方案中的函数关系式，然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解.

(1)y1=x-0.55x-0.05x-20

=0.4x-20；

y2=x-0.55x-0.1x=0.35x.

(2)若y1＞y2，则0.4x-20＞0.35x，解得x＞400；

若y1=y2，则0.4x-20=0.35x，解得x=400；

若y1＜y2，则0.4x-20＜0.35x，解得x＜400.

故当月生产量大于400件时，选择方案一所获利润较大；当月生产量等于400件时，两种方案利润一样；当月生产量小于400件时，选择方案二所获利润较大.

注：在处理生产实践和市场经济中的一些问题时，用数学的眼光来分辨，会使我们作出的决策更合理.

四、最值型

例4杨嫂在再就业中心的支持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息.

①买进每份0.2元，卖出每份0.3元；

②一个月(以30天计)内，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份.

③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份0.1元退回给报社.

(1)填表：

一个月内每天买进该种晚报的份数100 150

当月利润(单位：元)

(2)设每天从报社买进这种晚报x份(120≤x≤200)时，月利润为y元，试求y与x之间的函

数关系式，并求月利润的最大值.

解析　(1)由题意，当一个月每天买进100份时，可以全部卖出，当月利润为300元；当一个月内每天买进150份时，有20天可以全部卖完，其余10天每天可卖出120份，剩下30份退回报社，计算得当月利润为390元.

(2)由题意知，当120≤x≤200时，全部卖出的20天可获利润：

20[(0.3-0.2)x]=2x(元)；

其余10天每天卖出120份，剩下(x-120)份退回报社，10天可获利润：

10[(0.3-0.2)×120-0.1(x-120)]

=-x+240(元).

∴月利润为

y=2x-x+240

=x+240(120≤x≤200).

由一次函数的性质知，当x=200时，y有最大值，为y=200+240=440(元).

注：对于一次函数y=kx+b，当自变量x在某个范围内取值时，函数值y可取最大(或最小)值，这种最值问题往往用来解决“成本最省”、“利润最大”等方面的问题.

五、学科结合型

例5声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称音速)是气温x(℃)的一次函数.下表列出了一组不同气温时的音速：

气温x(℃)0 5 10 15 20

音速y(m/S) 331 334 337 340 343