误差理论和测定结果表达
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如：测量单摆的振动周期T，用公式 T 2 l / g
求得g
误
差 理 论 基 础
由于测量方法、测量环境、测量仪器和测量者 的局限性——误差的不可避免性，待测物理量 的真值同测量值之间总会存在某种差异，这种 差异就称为测量误差，定义为
测量误差= 测量值- 真值
绝对误差
相对误差
δ= x - X
仪器误差测量附件误差；
理论或方法误差；
人员误差---生理或心理特点所造成的误差。
特点：同一被测量物多次测量中，保持恒定或以可预知的 方式变化（一经查明就应设法消除其影响）
2．偶然误差（随机误差）：是指在同一被测量量的
误 差 理 论 基 础
多次测量过程中，测量误差的绝对值与符号以不可预知
（随机）的方式变化并具有抵偿性的测量误差分量。
实 验 成 绩 组 成
一 预习报告
15%
二 三
操作能力 实验报告
55% 30%
物理实验
是研究自然现象、总结物理规律的基本方法，
同时也是验证新理论的必经之路。
本课程的目的和任务：
绪
a. 通过对实验现象的观测、分析和对物理量的测量，学习物理实验 知识，加深对物理学原理的理解，提高对科学实验重要性的认识； b. 培养与提高学生的科学实验能力；
二、偶然误差和系统误差
误 差 理 论 基 础
误差分类 按其性质和原因可分为三类:
系统误差
偶然误差(随机误差)
粗大误差
1．系统误差：误差值的大小和正负总保持不变，或按
误 差 理 论 基 础
一定的规律变化，或是有规律的重复。
来源：
仪器的示值误差；
仪器的零值误差；
理论公式为近似 或实验条件达不 到理论公式所规 定的要求
2 2
2
相对不确定度传递公式：(积商形式)
N N
ln F 2 ln F 2 ln F 2 x y y z z x
2 2
2
误 差 理 论 基 础
间接测量结果的表示
N N N 单位 N Er N 100 %
V V EV 9.4357 0.81% 0.076 0.08cm3 V的测量结果： V=9.44 ± 0.08cm3
四、有效数字 有 效 数 字 及 其 运 算
位数无限多，如1/3，
位数有限，如0.333，
处理：实验测量中要尽力避免过失错误； 在数据处理中要尽量剔除坏值。
实验中的异常值决不能不加分析地统统扔掉 -----很多惊世发现都是超出预期的结果！！！
实验结果的评估：
误 差 理 论 基 础
1．精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。 即是指在规定条件下对被测量进行多次测量时，所得结 果之间符合的程度，简称为精度。 2. 准确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。 它反映了在规定条件下，测量结果中所有系统误差的综 合。 3. 精确度：表示测量结果与被测量的“真值”之间的一 致程度。 它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。
测量结果的表示:
(单位) x x 仪 仪 (100 %) E x
例题1
误 差 理 论 基 础
问题： 1.计算平均值（近真值） 2.计算A、B类两类不确定度以及合成不确定度 3.最后写出测量结果
例1：用螺旋测微器测量小钢球的直径，转动小钢球 在不同方向测，得以下数据：计算并写出测量结果：
V
4
2 h( D2 D12 )
V的近真值：
a．直接求不确定度
V
误 差 理 论 基 础 方法一：先求V对各变量的偏导数，对某一 变量求偏导数时，把其它变量看作常数。
V hD2 D2 2
V
hD1 V D1 2
2
V 2 2 ( D2 D1 ) h 4
不确定度和误差是两个不同的概念:误差是指测量值 与真值之差，一般情况下，由于真值未知，所以它是 未知的．不确定度的大小可以按一定的方法计算(或 估计)出来．
2．不确定度的分类
误 差 理 论 基 础
A类不确定度： 一般将一测量列的平均 值的标准偏差属于A类分量
A s x Sx n
(x
( xi x ) 2 n( n 1)
2
sx 平均值的标准偏差s x n
不确定度 :
仪 S x
2
测量结果表示:
x x
Ex 100 % x
（b)单次测量结果总不确定度的估算：
误 差 理 论 基 础
在单次测量的情况下，往往B类误差要比A类误差大 的多，按照微小误差原则，即只要大于3倍以上， 在计算总不确定度时，可以忽略A类误差的影响。
3.最后写出测量结果 d=11.922 ± 0.005mm
(2)间接测量结果不确定度的估计：
误 差 理 论 基 础
设间接测量N=F（x，y，z…） 不确定度传递公式：(加减形式)
N
F 2 F 2 F 2 x y y z z x
大多数偶然误差服从正态分布(高斯分布)规律 正态分布规律:
误 差 理 论 基 础
特点：
1）有界性. 2）单峰性.
3）对称性.
4）抵偿性.
1 n lim i 0 n n i 1
可以通过多次测量，利用其统计规律达到互相抵偿 随机误差，找到真值的最佳近似值(又叫最佳估计值或 最近真值)。
来源：是实验中各种因数的微小变动性引起的。例如实验 周围环境或操作条件的微小波动，测量对象的自身涨落， 测量仪器指示数值的变动性，以及观测者本人在判断和估 计读数上的变动性等．
特点：个体而言是不确定的; 但其总体服从一定的统计规律。 处理：可以用统计方法估算其对测量结果的影响（标准 差），不可修正，但可减小之。
•测量就是把待测的物理量与一个被选做标准的同类物理 量进行比较，确定它是标准量的多少倍。
•测量值必须包括:数值和单位，如测量课桌的长度为 1.2534m。
测量的分类： 按测量方式通常可分为： 直接测量——由仪器或量具直接与待测量进行比较读数。
如：用米尺测量课桌的长度，电压表测量电压等
间接测量——借助一些函数关系由直接测量量计算出所 要求的物理量．
4．不确定度的估算方法 （1）直接测量中不确定度的估算
误 差 理 论 基 础
（a)多次测量：在相同条件下对一物理量X进行了n次独立的 直接测量，所得n个测量值为x1，x2，…，xn，称其为测量 列。 1 n 算术平均值 x xi n i 1
标准偏差 sx ( xi x ) 2 n 1
结论二
一测量列的随机误差用标准偏差来 估算。标准偏差的计算公式为
sx
( xi x ) 2 n 1
(xi ) 2 n 1
3．粗大误差 ：明显超出规定条件下预期值的误差
误Βιβλιοθήκη Baidu
来源：使用仪器的方法不正确，粗心大意读错、记错、
差 理 论 基 础
算错数据或实验条件突变等原因造成的（坏值）。
次数 D(mm) 1 11.932 2 11.913 3 11.921 4 11.914 5 11.930
1.计算平均值（近真值） 误 差 理 论 基 础
1 d (11.932 11.913 11.921 11.914 11.930) 11.9220 11.922mm 5
计算顺序： 计算公式以加减运算为主，先算总不确定度，再算相 对不确定度； 计算公式以乘除或乘方运算为主，先算相对不确定度， 再算总不确定度。
例题2
误 差 理 论 基 础
3.1416 V 2.575 (3.600 2 - 2.880 2 ) 9.4357 9.436 cm3 4
例2：经测量，金属环的内径D1= （2.880±0.004）cm，外径D2=（3.600±0.004） cm，厚度h=（2.575±0.004）cm，求环体积V的 测量结果。 环体积公式：
E
X
100 %
x
100 %
真值就是与给定的特定量的定义相一致的量值。客观存在
误 差 理 论 基 础
的、但不可测得的（测量的不完善造成）。 可知的真值： a. 理论真值----理论设计值、理论公式表达值等 如三角形内角和180度； b. 约定(实用)真值-----指定值,最佳值等， 如算术平均值当真值等。
2.计算A、B类两类不确定度以及合成不确定度
A类不确定度 S
d
( Di 11.9220) 2
1
5
5 4
0.0018
mm
B类不确定度：该实验较为简单，主要是仪器误差， 由表一查得螺旋测微器的仪器误差为0.004mm。 合成不确定度：
c 0.0018 2 0.004 2 0.0044 mm 0.005 mm
误 差 理 论 基 础
a)精密度低, 准确度高 (b)精密度高， 准确度低 (c)精密度、 准确度和精确度皆高
三、测量结果的不确定度 误 差 理 论 基 础
测量结果表示为：测量值=最佳估计值±不确定度（单位）
x x
1．什么是不确定度
不确定度，是指由于测量误差的存在而被测量值不能肯定的程度， 或者说它表示被测量的真值在某个量值范围的一个客观的评定， 是一个描述尚未确定的误差的特征量．
i
x )2
n( n 1)
B类不确定度： 一般将仪器误差近似的 看成是B类分量
总不确定度：
仪 S x
2
2
相对不确定度： Ex 100 %
x
3．测量结果的不确定度含义
误 差 理 论 基 础
在基础物理实验教学中，我们暂不讨论不确 定度的概率含义，而将测量结果不确定度简 化地理解为测量量的真值在 ( x , x ) 区间 之外的可能性很小，或者说，被测量的真值 位于 ( x , x ) 区间之内的可能性很大。
1 - 2D - 2D EV ( uh )2 ( 2 1 2 uD1 ) 2 ( 2 2 2 uD2 ) 2 h D2 - D1 D2 - D2
0.004 ( 0.81% 1 2 2 2880 2 3.600 ) ( )2 ( )2 2 2 2 2 2.575 3.600 - 2.880 3.600 - 2.880
实验误差理论基础
物理实验教学中心 宋向炯
一 预习内容
a 实验名称
怎 样 写 实 验 报 告
b 实验目的
为避免与实验报告两次重复， 直接写在实验报告上
c 主要仪器设备
d 实验原理摘要 注意 好
实验数据表格必须事先在实验原始记录中画
二 实验报告
a 实验名称 实验环境记录
b 实验目的
c 主要仪器设备（型号、规格等） d 实验原理摘要 e 实验步骤 f 数据处理与计算 g 思考题
论
c. 培养与提高学生的科学实验素养，要求学生具有理论联系实际和实
事求是的科学作风，严肃认真的工作态度，主动研究的探索精神。；
误差理论基础
绪 主要内容：
基本概念——物理实验和测量误差
论
误差分类——偶然误差和系统误差 误差计算——测量结果的不确定度 数据格式——有效数字
一、 物理实验和测量误差 误 差 理 论 基 础
误 度 V 差 理 论 基 础
方法二： 先求相对不确定度Ev，再求不确定
ln V ln
4
2 ln h ln(D2 D12 )
ln V 1 , h h
2D ln V 2 12 , D1 D2 D1
2D ln V 2 2 2 D2 D2 D1
结论一 误 差 理 论 基 础
当系统误差已被消除时，测量值的算术平均 值最接近被测量的真值，测量次数越多，接近程度 越高（当 n 时，平均值趋近于真值），因此我 们用算术平均值表示测量结果的最佳值。
1 1 n x ( x1 x2 x3 xn ) xi n n i 1
hD1 hD2 2 ( D2 D12 ) h ( D1 ) 2 ( D2 ) 2 4 2 2
0.004 (3.600 2 - 2.880 2 )2 (2 2.575 2.880 )2 (2 2.575 3.600 )2 4 0.076 0.08cm3
求得g
误
差 理 论 基 础
由于测量方法、测量环境、测量仪器和测量者 的局限性——误差的不可避免性，待测物理量 的真值同测量值之间总会存在某种差异，这种 差异就称为测量误差，定义为
测量误差= 测量值- 真值
绝对误差
相对误差
δ= x - X
仪器误差测量附件误差；
理论或方法误差；
人员误差---生理或心理特点所造成的误差。
特点：同一被测量物多次测量中，保持恒定或以可预知的 方式变化（一经查明就应设法消除其影响）
2．偶然误差（随机误差）：是指在同一被测量量的
误 差 理 论 基 础
多次测量过程中，测量误差的绝对值与符号以不可预知
（随机）的方式变化并具有抵偿性的测量误差分量。
实 验 成 绩 组 成
一 预习报告
15%
二 三
操作能力 实验报告
55% 30%
物理实验
是研究自然现象、总结物理规律的基本方法，
同时也是验证新理论的必经之路。
本课程的目的和任务：
绪
a. 通过对实验现象的观测、分析和对物理量的测量，学习物理实验 知识，加深对物理学原理的理解，提高对科学实验重要性的认识； b. 培养与提高学生的科学实验能力；
二、偶然误差和系统误差
误 差 理 论 基 础
误差分类 按其性质和原因可分为三类:
系统误差
偶然误差(随机误差)
粗大误差
1．系统误差：误差值的大小和正负总保持不变，或按
误 差 理 论 基 础
一定的规律变化，或是有规律的重复。
来源：
仪器的示值误差；
仪器的零值误差；
理论公式为近似 或实验条件达不 到理论公式所规 定的要求
2 2
2
相对不确定度传递公式：(积商形式)
N N
ln F 2 ln F 2 ln F 2 x y y z z x
2 2
2
误 差 理 论 基 础
间接测量结果的表示
N N N 单位 N Er N 100 %
V V EV 9.4357 0.81% 0.076 0.08cm3 V的测量结果： V=9.44 ± 0.08cm3
四、有效数字 有 效 数 字 及 其 运 算
位数无限多，如1/3，
位数有限，如0.333，
处理：实验测量中要尽力避免过失错误； 在数据处理中要尽量剔除坏值。
实验中的异常值决不能不加分析地统统扔掉 -----很多惊世发现都是超出预期的结果！！！
实验结果的评估：
误 差 理 论 基 础
1．精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。 即是指在规定条件下对被测量进行多次测量时，所得结 果之间符合的程度，简称为精度。 2. 准确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。 它反映了在规定条件下，测量结果中所有系统误差的综 合。 3. 精确度：表示测量结果与被测量的“真值”之间的一 致程度。 它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。
测量结果的表示:
(单位) x x 仪 仪 (100 %) E x
例题1
误 差 理 论 基 础
问题： 1.计算平均值（近真值） 2.计算A、B类两类不确定度以及合成不确定度 3.最后写出测量结果
例1：用螺旋测微器测量小钢球的直径，转动小钢球 在不同方向测，得以下数据：计算并写出测量结果：
V
4
2 h( D2 D12 )
V的近真值：
a．直接求不确定度
V
误 差 理 论 基 础 方法一：先求V对各变量的偏导数，对某一 变量求偏导数时，把其它变量看作常数。
V hD2 D2 2
V
hD1 V D1 2
2
V 2 2 ( D2 D1 ) h 4
不确定度和误差是两个不同的概念:误差是指测量值 与真值之差，一般情况下，由于真值未知，所以它是 未知的．不确定度的大小可以按一定的方法计算(或 估计)出来．
2．不确定度的分类
误 差 理 论 基 础
A类不确定度： 一般将一测量列的平均 值的标准偏差属于A类分量
A s x Sx n
(x
( xi x ) 2 n( n 1)
2
sx 平均值的标准偏差s x n
不确定度 :
仪 S x
2
测量结果表示:
x x
Ex 100 % x
（b)单次测量结果总不确定度的估算：
误 差 理 论 基 础
在单次测量的情况下，往往B类误差要比A类误差大 的多，按照微小误差原则，即只要大于3倍以上， 在计算总不确定度时，可以忽略A类误差的影响。
3.最后写出测量结果 d=11.922 ± 0.005mm
(2)间接测量结果不确定度的估计：
误 差 理 论 基 础
设间接测量N=F（x，y，z…） 不确定度传递公式：(加减形式)
N
F 2 F 2 F 2 x y y z z x
大多数偶然误差服从正态分布(高斯分布)规律 正态分布规律:
误 差 理 论 基 础
特点：
1）有界性. 2）单峰性.
3）对称性.
4）抵偿性.
1 n lim i 0 n n i 1
可以通过多次测量，利用其统计规律达到互相抵偿 随机误差，找到真值的最佳近似值(又叫最佳估计值或 最近真值)。
来源：是实验中各种因数的微小变动性引起的。例如实验 周围环境或操作条件的微小波动，测量对象的自身涨落， 测量仪器指示数值的变动性，以及观测者本人在判断和估 计读数上的变动性等．
特点：个体而言是不确定的; 但其总体服从一定的统计规律。 处理：可以用统计方法估算其对测量结果的影响（标准 差），不可修正，但可减小之。
•测量就是把待测的物理量与一个被选做标准的同类物理 量进行比较，确定它是标准量的多少倍。
•测量值必须包括:数值和单位，如测量课桌的长度为 1.2534m。
测量的分类： 按测量方式通常可分为： 直接测量——由仪器或量具直接与待测量进行比较读数。
如：用米尺测量课桌的长度，电压表测量电压等
间接测量——借助一些函数关系由直接测量量计算出所 要求的物理量．
4．不确定度的估算方法 （1）直接测量中不确定度的估算
误 差 理 论 基 础
（a)多次测量：在相同条件下对一物理量X进行了n次独立的 直接测量，所得n个测量值为x1，x2，…，xn，称其为测量 列。 1 n 算术平均值 x xi n i 1
标准偏差 sx ( xi x ) 2 n 1
结论二
一测量列的随机误差用标准偏差来 估算。标准偏差的计算公式为
sx
( xi x ) 2 n 1
(xi ) 2 n 1
3．粗大误差 ：明显超出规定条件下预期值的误差
误Βιβλιοθήκη Baidu
来源：使用仪器的方法不正确，粗心大意读错、记错、
差 理 论 基 础
算错数据或实验条件突变等原因造成的（坏值）。
次数 D(mm) 1 11.932 2 11.913 3 11.921 4 11.914 5 11.930
1.计算平均值（近真值） 误 差 理 论 基 础
1 d (11.932 11.913 11.921 11.914 11.930) 11.9220 11.922mm 5
计算顺序： 计算公式以加减运算为主，先算总不确定度，再算相 对不确定度； 计算公式以乘除或乘方运算为主，先算相对不确定度， 再算总不确定度。
例题2
误 差 理 论 基 础
3.1416 V 2.575 (3.600 2 - 2.880 2 ) 9.4357 9.436 cm3 4
例2：经测量，金属环的内径D1= （2.880±0.004）cm，外径D2=（3.600±0.004） cm，厚度h=（2.575±0.004）cm，求环体积V的 测量结果。 环体积公式：
E
X
100 %
x
100 %
真值就是与给定的特定量的定义相一致的量值。客观存在
误 差 理 论 基 础
的、但不可测得的（测量的不完善造成）。 可知的真值： a. 理论真值----理论设计值、理论公式表达值等 如三角形内角和180度； b. 约定(实用)真值-----指定值,最佳值等， 如算术平均值当真值等。
2.计算A、B类两类不确定度以及合成不确定度
A类不确定度 S
d
( Di 11.9220) 2
1
5
5 4
0.0018
mm
B类不确定度：该实验较为简单，主要是仪器误差， 由表一查得螺旋测微器的仪器误差为0.004mm。 合成不确定度：
c 0.0018 2 0.004 2 0.0044 mm 0.005 mm
误 差 理 论 基 础
a)精密度低, 准确度高 (b)精密度高， 准确度低 (c)精密度、 准确度和精确度皆高
三、测量结果的不确定度 误 差 理 论 基 础
测量结果表示为：测量值=最佳估计值±不确定度（单位）
x x
1．什么是不确定度
不确定度，是指由于测量误差的存在而被测量值不能肯定的程度， 或者说它表示被测量的真值在某个量值范围的一个客观的评定， 是一个描述尚未确定的误差的特征量．
i
x )2
n( n 1)
B类不确定度： 一般将仪器误差近似的 看成是B类分量
总不确定度：
仪 S x
2
2
相对不确定度： Ex 100 %
x
3．测量结果的不确定度含义
误 差 理 论 基 础
在基础物理实验教学中，我们暂不讨论不确 定度的概率含义，而将测量结果不确定度简 化地理解为测量量的真值在 ( x , x ) 区间 之外的可能性很小，或者说，被测量的真值 位于 ( x , x ) 区间之内的可能性很大。
1 - 2D - 2D EV ( uh )2 ( 2 1 2 uD1 ) 2 ( 2 2 2 uD2 ) 2 h D2 - D1 D2 - D2
0.004 ( 0.81% 1 2 2 2880 2 3.600 ) ( )2 ( )2 2 2 2 2 2.575 3.600 - 2.880 3.600 - 2.880
实验误差理论基础
物理实验教学中心 宋向炯
一 预习内容
a 实验名称
怎 样 写 实 验 报 告
b 实验目的
为避免与实验报告两次重复， 直接写在实验报告上
c 主要仪器设备
d 实验原理摘要 注意 好
实验数据表格必须事先在实验原始记录中画
二 实验报告
a 实验名称 实验环境记录
b 实验目的
c 主要仪器设备（型号、规格等） d 实验原理摘要 e 实验步骤 f 数据处理与计算 g 思考题
论
c. 培养与提高学生的科学实验素养，要求学生具有理论联系实际和实
事求是的科学作风，严肃认真的工作态度，主动研究的探索精神。；
误差理论基础
绪 主要内容：
基本概念——物理实验和测量误差
论
误差分类——偶然误差和系统误差 误差计算——测量结果的不确定度 数据格式——有效数字
一、 物理实验和测量误差 误 差 理 论 基 础
误 度 V 差 理 论 基 础
方法二： 先求相对不确定度Ev，再求不确定
ln V ln
4
2 ln h ln(D2 D12 )
ln V 1 , h h
2D ln V 2 12 , D1 D2 D1
2D ln V 2 2 2 D2 D2 D1
结论一 误 差 理 论 基 础
当系统误差已被消除时，测量值的算术平均 值最接近被测量的真值，测量次数越多，接近程度 越高（当 n 时，平均值趋近于真值），因此我 们用算术平均值表示测量结果的最佳值。
1 1 n x ( x1 x2 x3 xn ) xi n n i 1
hD1 hD2 2 ( D2 D12 ) h ( D1 ) 2 ( D2 ) 2 4 2 2
0.004 (3.600 2 - 2.880 2 )2 (2 2.575 2.880 )2 (2 2.575 3.600 )2 4 0.076 0.08cm3