代数复习1(数的整除、实数)-教师版

知识精要
一、数的整除
1、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数，余数为0，那么称a能被b整除，b能整除a。

2、在正整数范围内，如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

一个正整数的因数个数是有限的，其中最小的一个因数是1，最大的一个因数是它本身。

3、能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、
4、6、8的数都能被2整除；能被5整除的数的特征：个位数字是0或5的数都能被5整除；能同时被2、5整除的数的特征：个位数字为0.
4、能被2整除的正整数为偶数，不能被2整除的正整数为奇数。

5、一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（或质数）；一个正整数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

6、正整数按照含因数的个数分类，可以分为素数、合数和1三类。

7、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。

把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

8、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。

几个数的最大公因数必须包含它们全部公有的素因数。

9、若两个数的公因数只有1，则称这两个数互素。

10、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

11、分数的基本性质：分数的分子和分母同乘以或除以一个不为零的数，所得的分数与原分数相等。

即
)0,0,0(≠≠≠÷÷==n k b n
b n a bk ak b a 。

12、正整数和零统称为自然数。

正整数、零、负整数统称为整数。

整数、分数统称为有理数，可用
q
p
表示，其中p 、q 为整数，0≠q 。

有理数、无理数统称为实数。

13、若a x =2
，则x 称为a 的平方根，记作a ±；若a x =3
，则x 称为a 的立方根，记作3a 。

负数没有平方根，也没有其他偶次方根。

正数的平方根是一对互为相反数的数，零的平方根是零。

14、有理数幂的意义：
)0(10≠=a a ；),0(1
为正整数m a a
a
m m
≠=-；)1,,0(>≥=m n m a a a m n m n
为正整数、； )1,,0(1
>>=
-m n m a a
a m
n
m
n 为正整数、。

15、幂的运算法则：
设q p b a 、,0,0>>为有理数，那么q p q p q
p q
p
a a a a
a a -+=÷=•,；pq q p a a =)(；
（1）p p
p q
p
p
b
a b a b a ab =•=)(,)(。

二、实数
知识点一、实数的分类：
2.按性质符号分类：
注：0既不是正数也不是负数.
3.有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如(m，n是整数n≠0)”的数叫有理数．
4.无理数：无限不循环小数叫无理数．
5.实数：有理数和无理数统称为实数．
知识点二、实数的相关概念
1.相反数
(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.
(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，
互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.
(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.
2.绝对值
(1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示
为：
(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．
3.倒数(1)实数的倒数是；0没有倒数；
(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.
4.平方根
(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．
(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作．
5.立方根
如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零．
知识点三、实数与数轴
数轴定义：
规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
知识点四、实数大小的比较
1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.
2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.
3.对于实数a、b，若a-b＞0a＞b；
a-b=0a=b；
a-b＜0a＜b.
4.对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c.
5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果 a＞b＞0，a2＞b2a＞b；
或利用倒数转化：如比较与.
知识点五、实数的运算
1.加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．
2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数．
3.乘法：几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
4.除法：除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．
5.乘方与开方
(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．
(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．
(3)零指数与负指数
6.实数的六种运算关系
加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算. 7.实数运算顺序
加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． 8.实数的运算律
加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 知识点六、有效数字和科学记数法
1.近似数： 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．
2.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．
3.科学记数法： 把一个数用
(1≤
＜10，n 为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．
热身练习
1、 最小的自然数是 0 ，最小的合数是 4 ，最小的正奇数是 1 ，20以内的所有素数是
2、3、5、7、11、13、17、19 。

2、 在6和36中， 36 能被 6 整除， 36 是 6 的倍数， 6 是 36 的因数。

3、 三个连续奇数的和是87，这三个连续的奇数分别是 27、29、31 。

4、 把48分解素因数，可写成48＝ 32222⨯⨯⨯⨯
5、 已知数5322⨯⨯⨯=a ，那么a 的全部因数有多少个？这些因数的和是多少？ 答：12个；1+2+3+5+4+6+10+15+12+20+30+60＝168
6、 一个两位数的素数，如果它的两个数字之和是8，那么这个素数是多少？ 答：1
7、53、71
7、 有一块长为2米，宽为6分米的长方形铁皮，要把它截成面积尽可能大的同样大小的一些正方形铁皮，
而且没有剩余。

这种正方形的边长最大是多少分米？原有的长方形铁皮能截成多少块这样的正方形铁皮？
答：2分米；30块。

8、 甲乙两人在环形跑道上练习跑步，跑完一圈，甲需要2分钟，乙需要2分30秒。

如果甲乙两人同时同
(A )2. (B )4. (C )6. (D )12.
（3）用一个数去除24、36和54，正好都能整除，符合条件的数中最大的是 6 。

（4）已知甲、乙、丙三个数的和等于210，甲数比乙数大80，丙数比甲数小55，求这三个数的最大公因数和最小公倍数。

答：甲：115；乙：35；丙：60；最大公因数：5；最小公倍数：9660. 例3、（1）绝对值小于8又大于5的整数是 7,6±± （2）当a =2时，1a -= 1 ．
（3）数轴上表示实数a 、b 的点如图所示，则|a+b|＝ -a-b
（4）写一个大于2且小于3的无理数 5等 。

例4、（1）下列运算正确的是（ C ）
（A ）1)1(0-=- （B ）0)1(0=- （C ）1)1(1-=-- （D ）1)1(1=-- （2）16的四次方根是___2±_______
（3）计算32
2181.0)259(-+-5
398=
（4）计算︒+-+-+
-30cot 131
32
)3
1(1
333+= （5）计算3
4
)2(34=
例5、（1）小杰于3月26日20：00，在“百度”搜索引擎中输入“上海世博会”，能搜索到与之相关的网页约23 800 000个，将这个数字用科学记数法表示为（ C ） A ．2.38×105 ； B ．2.38×106
； C ．2.38×107
D ．2.38×108
.
（2）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，若芯片上某种电子元件大约只占0.0000007（毫米2
），这个数用科学记数法表示为 7
107-⨯毫米2
.
二、实数部分
考点一、实数概念及分类
1. （2010上海）下列实数中，是无理数的为（C ） A. 3.14 B.
C.
D.
b a
2.下列实数、sin60°、、、
3.14159、、、中无理数有( C )个
A．1 B．2 C．3 D．4
考点二、数轴、倒数、相反数、绝对值
1．数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为（ A）
A. 或
B. 6
C.
D. 或
(1)a的相反数是，则a的倒数是_______．
(2)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:
则化简=______．
举一反三：
【变式1】化简-(-2)的结果是( )D
A．-2 B． C． D．2
【变式2】若m+1与m–3互为相反数，则m=___1___.
思路点拨：互为相反数的两个数之和等于0.∴m+1+m–3=0，解得m=1.
【变式3】-2的倒数是_______.
思路点拨：注意倒数与相反数的区别，乘积为1的两个数互为倒数.
【变式4】的绝对值是(B ) A． B． C． D．
【变式5】若|x-1|=1-x，则x的取值范围是( B ) A．x≥1 B．x≤1 C．x<1 D．x>1 【变式6】下列说法正确的是( )C
A．-1的倒数是1 B．-1的相反数是-1 C．1的算术平方根是1 D．1的立方根是±1 【变式7】甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a的相反数就是它本身，乙说一个数b的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=________.
解析：欲求|a-b|，首先应知道a、b的值.由于甲、乙两同学所说的内容隐含着a和b的值，因此易得，∴a=0，b=±1，∴|a-b|=|±1|=1.
【变式8】如图，数轴上表示数的点是 B .
考点三、近似数、有效数字、科学记数法
1．(1)根据统计，某市2008年财政总收入达到105.5亿元.用科学记数法(保留三位有效数字)表示105.5亿元约为( B )
A．1.055×1010元B．1.06×1010元C．1.06×1011元D．1.05×1011元
(2)2007年5月3日，中央电视台报道了一则激动人心的新闻，我国在渤海地区发现储量规模达10.2亿吨的南堡大油田，10.2亿吨用科学记数法表示为(单位：吨)( C )
A．1.02×107B．1.02×108C．1.02×109D．1.02×1010
【变式2】用科学记数法表示0.00608的结果是(A)
A．B．C．D．
【变式3】近似数0.030万精确到______位，有_____个有效数字，用科学记数法表示记作________万. 答案：十；2；.
2．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（C ）．
A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字
考点四、实数的大小比较
1．比较下列每组数的大小：
(1)与；(2)与；(3)与；(4)a与(a≠0).
思路点拨：(1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；
(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；
(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；
(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有
倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.
解：(1)，，，所以
(2)
因为所以；(3)，，而与可以很容易进行比较得到，所以；
(4)当a<-1或O<a<1时，a<；当-1<a<0或a>1时，a>；当a=1或-1时，a=1/a.
总结升华：第(4)题我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a的反比例函数，把a 的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.
考点五、快速准确地进行实数运算
1．计算：.
思路点拨：该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．
解：
总结升华：本题考点是实数的混合运算.易错点是忘记负整数指数(0指数)幂的意义，而使
举一反三：
2、计算：
(1)
(2)
(3)
答案：(1)11109；(2)-110；(3)
. 3、已知：x ，y 是实数，，若axy-3x=y ，则实数a 的值是__4
1_____. 思路点拨：此题考查的是非负数的性质.
解：即
∴
，(y-3)2=0， ∴ x=， y=3 又∵axy-3x=y ， ∴ a=.
举一反三： 【变式1】已知
，求的值. 思路点拨：利用≥0，≥0，≥0(为自然数)等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为
零，得一个三元一次方程组，解得、、的值，再代入
后本题得以解决. 答案：-3.
4、如果=（a ，b 为有理数），那么等于（D ）
（A ）2 （B ）3 （C ）8 （D ）10
思路点拨：=6+ 4，a=6,b=4, =10.
巩固练习
1、已知25能被正整数a 整除，则a 可能是 1、5、25 。

（写出所有的可能值）
2、28的所有因数是 1、2、4、7、28 。

3、某班男生人数是20人，女生人数是25人，则男生人数是全班人数的 9
4 （填几分之几） 4、在3.14，
7
22，－3，364，π中，无理数是 －3 、 π 。

5、将722330sin 45cos 16、、、、、︒︒π中的无理数按从小到大排列π<<︒345cos
20、一个偶数变成一个奇数，下列不一定能做到的是（ D ）
A. 加上1
B.减去1
C.加上或减去1
D.除以2
21、和数轴上所有点可建立一一对应关系的是（ D ）
A.全体整数
B.全体有理数
C.全体无理数
D.全体实数
自我测试
一、填空题
1、=-5 5
2、－7的倒数是 7
1- 3、=4 2
4、2)3(＝ 3
5、－（－2）＝ 2
6、2
31-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-＝ 9 7、（－3）⨯2＝ －6
8、)25)(25(-+＝ 1
9、=-2)43( 32-
10、63⨯＝ 23
11、如果0132=+++-c b a ，那么=++c b a 2
12、在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是 2
13、的整数部分是__2_______. 二、选择题：
1． （2010北京）－2的倒数是（ A ）
A ．
B ．
C ．－2
D ． 2
2. （2010四川内江）－的倒数是（ B ）
A ．2010
B ．－2010
C ．
D ．－
3．(河北省)(2分)的相反数是( A ) A ．7 B ．
C ．
D ． 4. （2010山东济宁)若，则的值为 （ C ）
A ．1
B ．－1
C ．7
D ．－7
5. （2010湖南怀化）若
，则、、的大小关系是（C ） A ． B ． C ．
D ． 6．(北京)(4分)国家游泳中心----“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外 层膜的展开面积 约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为( D )
A ．0.26×106
B ．26×104
C ．2.6×106
D ．2.6×105
7.（2010 山东省德州）德州市2009年实现生产总值（GDP ）1545.35亿元，用科学记数法表示应是（结果保留3个有效数字）（ D ）
A ． 元
B ．元
C ．元
D ．元 8．(河北省)(2分)据2007年5月27日中央电视台“朝闻天下”报道，北京市目前汽车拥有量约为3 100 000辆．则3 100 000用科学记数法表示为( D )
A ．0.31×107
B ．31×105
C ．3.1×105
D ．3.1×106
9. （2010年连云港）今年1季度，连云港市高新技术产业产值突破110亿元，同比增长59%．数据“110亿”用科学记数可表示为（A ）
A ．1.1×1010
B ．11×1010
C ．1.1×109
D ．11×109 10. （2010四川成都）上海“世博会”吸引了来自全球众多国家数以千万的人前来参观．据统计，2010年5月某日参观世博园的人数约为256 000，这一人数用科学记数法表示为（A ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11. 下列运算所得结果为负数的是（ C ）
A.0)2(-
B.－（－2）
C.－2
2 D.2)2(- 12. 在数060sin 41415.32
1、、、、、︒-π
中，无理数的个数为（ B ） A.1 B.2 C.3 D.4
13. 已知实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，那么下列式子中正确的是（ B ）
A.ab
ac> B.ab
cb> C.ab
cb< D.b
a
b
c+
>
+
14. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是(D )
A．38 B．52 C．66 D．74
三、计算题
1．计算：.原式.
2．计算：.原式. 3．计算：．原式
4. 计算：1
2
1
2)1
3
(
12
)
2
1
(
)2
(-
-
⨯
-
-
+3
-
=
5. 计算：0
1)1
2
(
3
)
2
1
(
2
4-
+
-
+
⨯
--＝2
6. 计算：
32
)
2
1
4
50
5
1
18
3(÷
-
+
＝2
7. 计算：2
1
2
1
)
4
1
2(
)
121
(-
-
3
1
10
=
8. 计算：6
1
3
1
2
1
2
2
2÷
•34
=
c b 0 a x。