2016天津高考试题及答案-理科数学

绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：
•如果事件A ，B 互斥，那么
•如果事件A ，B 相互独立，那么
()()()P A B P A P B =+U . ()()()P AB P A P B =.
•棱柱的体积公式V Sh =.• 棱锥的体积公式13
V Sh =
. 其中S 表示棱柱的底面面积， 其中S 表示棱锥的底面面积， h 表示圆柱的高. h 表示棱锥的高.
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合}{4,3,2,1=A ，}
{A x x y y B ∈-==,23，则=B A I （ ） （A ）}{
1
（B ）}{4
（C ）}{3,1
（D ）}{
4,1 （2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧-+-++-.0923,0632,
02y x y x y x 则目标函数y x z 52+=的最小值为
（A ）4-
（B ）6
（C ）10
（D ）17
≤ ≥ ≥
（3）在ABC ∆中，若13=AB ，3=BC ，ο120=∠C ， 则=AC （ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）3 （D ）4
（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）6
（D ）8
（5）设}{n a 是首项为正数的等比数列，公比为q 则
“0＜q ”是“对任意的正整数n ，0212＜n n a a +-”的（ ）
（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）已知双曲线
1422
2=-b
y
x ）＞（0b ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为b 2，则双曲线的方程为（ ）
（A ）143422=-y x （B ）134422=-y x （C ）144222=-y x （D ）112
42
2=-y x （7）已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）
（A ）85-
（B ）8
1 （C ）
4
1
（D ）
8
11 （8）已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧+++-+=0,1)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a
＜（0＞a ，且1≠a ）在R 上单调递减，且
关于x 的方程x x f -=2)(恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）
（A ）]3
2
,0(
（B ）]4
3,32[
≥ （第4题图）
（C ）Y ]32,31[{4
3
} （D ）Y )32,31[{
4
3} 绝密★启用前
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数 学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12小题, 共110分.
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. （9）已知a ，∈b R ，i 是虚数单位，若a b =-+)i 1)(i 1(，则
b
a
的值为_____________. （10）82)1
(x
x -的展开式中7x 的系数为_____________.（用数字作答）
（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积 为_____________3
m .
（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，
22==AE BE ，ED BD =，则线段CE 的长
为_____________.
（13）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间
)0,(-∞上单调递增.若实数a 满足)2()2
(1
--f f a ＞，
则a 的取值范围是_____________.
（14）设抛物线⎩
⎨⎧==pt y pt x 2,
22（t 为参数，0＞p ）的焦
点F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为
B .设)0,2
7
(p C ，AF 与BC 相交于点E .若AF CF 2=，
且ACE ∆的面积为23，则p 的值为_____________.
三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
已知函数3)3
cos()2sin(
tan 4)(---=π
π
x x x x f .
（Ⅰ）求)(x f 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论)(x f 在区间]4
,4[π
π-上的单调性.
（16）（本小题满分13分）
某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分 别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列 和数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面⊥OBEF 平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2==BE AB .
（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角C EF O --的正弦值； （Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且HF AH 3
2
=
，
求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.
（18）（本小题满分13分）
已知}{n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的*∈N n ，n b 是n a 和1+n a 的等比中项.
（Ⅰ）设2
21n n n b b c -=+，*∈N n ，求证：数列}{n c 是等差数列；
（Ⅱ）设d a =1，∑=-=n
k k
k
n b T 21
2)1(，*
∈N n ，求证21211d T n
k k
＜∑
=.
（19）（本小题满分14分）
设椭圆13222=+y a x )3(＞a 的右焦点为F ，右顶点为A .已知FA
e
OA OF 311=
+， 其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点
M ，与y 轴交于点H .若HF BF ⊥，且MOA ∠≤MAO ∠，求直线l 的斜率的取值范
围.
（20）（本小题满分14分）
设函数b ax x x f ---=3
)1()(，∈x R ，其中a ，∈b R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； （Ⅲ）设0＞a ，函数)()(x f x g =，求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．
41
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数 学（理工类）
一、选择题： （1）【答案】D （2）【答案】B （3）【答案】A （4）【答案】B （5）【答案】C （6）【答案】D （7）【答案】B （8）【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题： （9）【答案】2 （10）【答案】56- （11）【答案】2
（12） （13）【答案】13
(,)22
(14) 三、解答题 （15）
【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z π
π⎧⎫≠
+∈⎨⎬⎩
⎭
，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间
412π
π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
，上单调递减. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π
-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,
44
ππ
-
]上单调性
试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z π
π⎧⎫
≠
+∈⎨⎬⎩
⎭
. ()
4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2
1=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭
)()
=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23
x x x x x π
+=-
.
所以, ()f x 的最小正周期2.2
T π
π=
= ()II 解：令2,3z x π
=-
函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+,得5,.12
12
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-
=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
，易知,124A B ππ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦I .
所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412π
π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
，上单调递减.
考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【结束】 (16) 【答案】（Ⅰ）1
3
（Ⅱ）详见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：2
10C ，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：112
344C C C +，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）
先确定随机变量可能取值为0,1,2.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望
试题解析：解：()I 由已知，有
()112
3442
101
,3
C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为
13
. ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.
()222
334
2
100C C C P X C ++==415
=
， ()11113334
2
107115
C C C C P X C +===
， ()1134
2
10
4215
C C P X C ===
. 所以，随机变量X 分布列为
随机变量X 的数学期望()0121151515
E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：概率，概率分布与数学期望 【结束】 (17)
【答案】 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量
数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值
试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF u u u r u u u r u u u r
的方向为x
轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，
()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.
（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-u u u r u u u r .设()1,,n x y z =u r 为平面ADF 的法向量，
则1100
n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r
，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =u r ，又()0,1,2EG =-u u u r ，可得10EG n ⋅=u u u r u r
，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.
（II ）解：易证，()1,1,0OA =-u u u r
为平面OEF 的一个法向量.依题意，
()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-u u u r u u u r .设()2,,n x y z =u u r 为平面CEF 的法向量，则220
n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r
，即0
20x y x y z +=⎧⎨
-++=⎩
.不妨设1x =，可得()21,1,1n =-u u r . 因此
有222
cos ,3OA n OA n OA n ⋅<>==-
⋅u u u r u u r
u u u r u u r u u u r u u r ，于
是2sin ,3OA n <>=u u u r u u r ，所以，二面
角
O EF C --
（III ）解：由23AH HF =，得2
5
AH AF =.因为()1,1,2AF =-u u u r ，所以
2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，进而有334,,555H ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r
，因此
222
cos ,21BH n BH n BH n ⋅<>==-
⋅u u u r u u r
u u u r u u r u u u r u u r .所以，直线BH 和平面CEF
所成角的正弦值为21. 考点：利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18)
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：2
1n
n n b a a +=，从而22
112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：
()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和
化简()
221
1n
n
n n k T b ==
-∑()()()22
22221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂
项相消法求和()222111111111111212121n
n n k k k k
T d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫
==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论.
试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，
因此()2
12122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.
（II ）证明：()()()
2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+
()()
()22224222212
n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅
=+L
所以()2222
111111111111
12121212n
n n k k k k
T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑.
考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 （19）
【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),4
6[]46,(+∞--∞Y 【解析】
试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由
113||||||c OF OA FA +=，得113()c
c a a a c +=-，
再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔
||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1
M x =，
再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组
求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由
113||||||c OF OA FA +=，即113()
c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为
22
143
x y +=. （2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，
由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)2(13
42
2x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2
222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而3
4122
+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(22
2++-=k k
k k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以03412344922
2=+++-k ky k k H
，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为k
k x k y 124912
-+
-=.
设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-=-+
-=)
2(124912
x k y k k x k y 消去y ，解得)1(129202
2++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M
M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1
)
1(129
2022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),4
6
[]46,(+∞-
-∞Y . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【结束】 （20）
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2
)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3
)1(2
0a
x =-，计算可得00(32)()f x f x -=再由
)
()(01x f x f =及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较
(1),(1)f f -
，
||,|(|33f f -的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，
33120331a
a +≤<≤-
，
②
当
3
34
a ≤<时，
3
321233133103321a
a a a +≤<+<-<≤-
，③
当
3
04
a <<
时，
23
313310<+<-
<a
a . 试题解析：（Ⅰ）解：由
b ax x x f ---=3
)1()(，可得a x x f --=2
)1(3)('. 下面分两种情况讨论：
（1）当0≤a 时，有0)1(3)('2
≥--=a x x f 恒成立，所以)(x f 的单调递增区间为
),(+∞-∞.
（2）当0>a 时，令0)('=x f ，解得331a
x +
=，或3
31a x -=. 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：
所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a
a +-
，单调递增区间为)3
31,(a --∞，),3
31(+∞+
a
. （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且10≠x ，由题意，得
0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20a x =
-， 进而b a
x a b ax x x f ---=---=3
32)1()(00300.
又b a ax x a
b x a x x f --+-=----=-32)1(3
8)22()22()23(000300
)(3
3200x f b a x a =---=，且0023x x ≠-，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足
)()(01x f x f =，且01x x ≠，因此0123x x -=，所以3201=+x x ；
（Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理： （1）当3≥a 时，3
3120331a
a +≤<≤-
，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此
|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=
⎩⎨
⎧<++--≥+++-=0
),(10
),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M . （2）当
34
3<≤a 时，3321233133103321a
a a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)3
31()3321()0(a f a f f +=-
≥，)331()3321()2(a f a f f -=+≤，
所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]3
31(),331([a
f a f -+
，因此 |}39
2||,392max {||})331(||,)331(max {|b a a a
b a a a a f a f M -----=-+
= |})(39
2||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--
= 4
14334392||392=⨯⨯⨯≥++=
b a a a . （3）当4
30<
<a 时，23313310<+<-<a
a ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， )331()3321()0(a f a f f +=-
<，)3
31()3321()2(a
f a f f -=+>， 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]2(),0([f f ，因此
|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=
4
1
||1>
++-=b a a . 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于4
1. 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【结束】。