函数区间的概念及求定义域的方法

课题：2.1.2函数－区间地概念及求定义域地方法教学目地：
1．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域地求法,掌握求函数解析式地思想方法；
2．培养抽象概括能力和分析解决问题地能力；
教学重点：“区间”、“无穷大”地概念,定义域地求法
教学难点：正确求分式函数、根式函数定义域
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
函数地三要素是：定义域、值域和定义域到值域地对应法则；对应法则是函数地核心(它规定了x和y之间地某种关系),定义域是函数地重要组成部分（对应法则相同而定义域不同地映射就是两个不同地函数）；定义域和对应法则一经确定,值域就随之确定
前面我们已经学习了函数地概念,,今天我们来学习区间地概念和记号
二、讲解新课：
1．区间地概念和记号
在研究函数时,常常用到区间地概念,它是数学中常用地述语和符号.
设a,b∈R ,且a<b.我们规定：
①满足不等式a≤x≤b地实数x地集合叫做闭区间,表示为[a,b]；
②满足不等式a<x<b地实数x地集合叫做开区间,表示为（a,b）；
③满足不等式a≤x<b 或a<x≤b地实数x地集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b) ,(a,b].
这里地实数a和b叫做相应区间地端点.
在数轴上,这些区间都可以用一条以a和b为端点地线段来表示,在图中,用实心点表示包括在区间内地端点,用空心点表示不包括在区间内地端点：
这样实数集R 也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”,“-”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a,x>a,x ≤b,x<b 地实数x 地集合分别表示为[a,+∞),（a,+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b).
注意：书写区间记号时：
①有完整地区间外围记号（上述四者之一）； ②有两个区间端点,且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“,”隔开. 2．求函数定义域地基本方法
我们知道,根据函数地定义,所谓“给定一个函数”,就应该指明这个函数地定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定）,不指明这两点是不能算给定了一个函数地,那么为什么又在给定函数之后来求它地定义域呢？这是由于用解析式表示函数时,我们约定：如果不单独指出函数地定义域是什么集合,那么函数地定义域就是能使这个式子有意义地所有实数x 地集合.有这个约定,我们在用解析式给出函数地对应法则地同时也就给定了定义域,而求函数地定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义地所有实数组成地集合.
3．分段函数：有些函数在它地定义域中,对于自变量x 地不同取值范围,对应法则不同,这样地函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数,而不是几个函数.
4．复合函数：设 f (x )=2x -3,g (x )=x 2+2,则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数 三、讲解范例：下面举例说明函数定义域地求法.
例1已知⎪⎩
⎪
⎨⎧+=10
)(x x f π )
0()0()0(>=<x x x ⇒1)]}1([{)0(;0)1(;2)1(+=-==-=ππf f f f f f
例2已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]
解：f [g (x )]=（
1+x ）2-1=x +2x
例3 求下列函数地定义域： ①14)(2
--=
x x f ②2
14
3)(2-+--=
x x x x f
③=
)(x f x
11111++
④x
x x x f -+=
0)1()(
⑤3
7
3132+++-=
x x y
解：①要使函数有意义,必须：142
≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=
x x f 地定义域为： [3,3-]
②要使函数有意义,必须：⎩⎨
⎧≠-≠-≤-≥⇒⎩
⎨⎧≠-+≥--131
40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-->⇒x x x 或或
∴定义域为：{ x|4133≥-≤<-->x x x 或或}
③要使函数有意义,必须： 0
11110110≠++≠+≠⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧x
x x ⇒
2
110-≠-≠≠⎪⎩
⎪
⎨⎧x x x ∴函数地定义域为：}2
1
,1,0|{--≠∈x R x x 且
④要使函数有意义,必须： ⎩
⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01
x x
∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或
⑤要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩
⎪⎨
⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}3
7
|{-≠x x
例4 若函数a
ax ax y 1
2+
-=
地定义域是R,求实数a 地取值范围
解：∵定义域是R,∴恒成立，01
2
≥+
-a
ax ax ∴⎪⎩
⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例 5 若函数)(x f y =地定义域为[-1,1],求函数)41(+=x f y )4
1(-⋅x f 地定义域
解：要使函数有意义,必须：
43434
54
3
43
45
14111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤
≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+
=x f y )41(-⋅x f 地定义域为：⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
≤≤-4343|x x 求用解析式y=f(x)表示地函数地定义域时,常有以下几种情况：
①若f(x)是整式,则函数地定义域是实数集R ；
②若f(x)是分式,则函数地定义域是使分母不等于0地实数集；
③若f(x)是二次根式,则函数地定义域是使根号内地式子大于或等于0地实数集合；
④若f(x)是由几个部分地数学式子构成地,则函数地定义域是使各部分式子都有意义地实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来地函数,则函数地定义域应符合实际问题.
例6 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+,求)(x f ；
∵已知x x f x f 3)1()(2=+ ①,
将①中x 换成
x 1
得x
x f x f 3)()1(2=+ ②, ①×2-②得x x x f 36)(3-= ∴x
x x f 12)(-=.
例7 设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0地两实根平方和为10,图象过点(0,3),求)(x f 地解析式.
解：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ,
∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；
又∵f(x)满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0地两实根平方和为10,
∴得对称轴x=2且212212
2212)(x x x x x x -+=+=10,
即22=-a b 且106
22=-a a
b ,∴a=1,b=-4,∴34)(2+-=x x x f 四、练习：
1．设)(x f 地定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 地定义域
解：要使函数有意义,必须：223≤-≤-x 得：
221+≤≤-x ∵
x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x
∴ 函数)2(-x f 地定域义为：{}
2460|+≤≤x x
2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)地解析式 解：设f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x -1
则⎪⎩
⎪⎨⎧-
==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨
⎧=-=1
2
b k ∴3
1
2)(-
=x x f 或12)(+-=x x f 3．若x x x f 21(+=+）,求f(x)
解法一（换元法）：令t=1+x 则x=t 2
-1, t ≥1代入原式有 1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
∴1)(2-=x x f （x ≥1）
解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x
∴1)1()1(2-+=+x x f 1+x ≥1
∴1)(2
-=x x f (x ≥1)
五、小结 本节课学习了以下内容：
区间地概念和记号,求函数定义域地基本方法,求解析式地方法,分段函数；复合函数
六、课后作业：课本第52页习题2.1：6
补充：1 已知：)(x f =x 2
-x+3 求： f(x+1), f(x
1) 解：f(
x 1)=(x 1)2-x
1
+3； f(x+1)=(x+1)2
-(x+1)+3=x 2+x+3
2 已知函数)(x f =4x+3,g(x)=x 2
,求f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)]. 解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15；
f[g(x)]=4g(x)+3=4x 2
+3；
g[f(x)]=[f(x)]2
=(4x+3)2
=16x 2
+24x+9； g[g(x)]=[g(x)]2
=(x 2
)2
=x 4
. 3 若x
x
x f -=
1)1( 求f(x) 解： 令x t 1= 则t
x 1= (t ≠0) 则11
111
)(-=-=t t
t t f
∴f(x)=1
1
-x (x ≠0且x ≠1)
七、板书设计（略） 八、课后记：。