拉普拉斯变换及反变换

(s+a)n+1
1
s+jw
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
例题 f1(t) 1 e-t t 1 0 f2(t) e-t t
拉普拉斯变换及反变换
求图示两个函数的拉氏变换式
0
解 由于定义的拉氏变换积分上限是0－，两个函数的 1 拉氏变换式相同 F ( s)
s
当取上式的反变换时，只能表示出 0 区间的函数式 t
象函数F(s) 用大写字母表示 ,如F(s) ，I(s)，U(s)。
拉普拉斯变换对，记为：
L f(t)
L
_
F(S)
机械工程控制基础 2.2
拉普拉斯变换及反变换
常用函数的拉普拉斯变换
（单位阶跃函数） 1 . f (t ) u (t )
1 t 0 u (t ) 0 t 0
； ；
当 n＝2， ℒ [t ]
2 s
3
L
依次类推， 得
ℒ
机械工程控制基础
常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 表 δ(t) δn(t) u(t) t tn e-at te-at tne-at e-jwt 1 sn 1/s 1/s2
n!
拉普拉斯变换及反变换
sn+1
1
s+a
1
(s+a)2
n!
s
lim
s
1 sa
1
s
由终值定理得
f ( )
lim
sF ( s )
s 0
lim
s
1 sa
0
s 0
机械工程控制基础
七、时域卷积性 ： 8 时域卷积性
若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s )
L
拉普拉斯变换及反变换
则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
st
( t 0)
st
拉氏变换积 分上限说明：
F (s)


f (t )e
dt
0


0
f (t ) e
st
dt
0



f (t )e
st
dt
0
当f(t)含有冲激函数项时，此项 0
机械工程控制基础
s
拉普拉斯变换及反变换
j 称为复频率 。
f(t) ，t [0,)称为原函数，属时域。 原函数 用小写字母表示，如 f(t) ，i(t)，u(t) F(s) 称为象函数，属复频域 。
例1 例2
ℒ [ A (1 e ℒ
t
)]
A(
1 2j (e
1 s

1 s
j t
)
[sin t ]
ℒ[
j t
e
)]


1
2 j s j
[
1

1 s j
]
s
2
2
机械工程控制基础
二、微分定理
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
则
拉普拉斯变换及反变换
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
(1)
利用
拉普拉斯变换及反变换
ℒ
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
ℒ ℒ[
d f (t ) dt
n n
dt d f (t ) 2 [ ] s F ( s ) sf (0 ) f (0 ) 2 dt
2
ℒ[
df ( t )
] sF ( s ) f (0 )

] s F ( s) s
n
n 1
f（0 ） s

n2
f 0 ） ... f （
u(t) t
F(s)=
0

0

e
st
dt
1 s

e
st 0


1 s
机械工程控制基础
2 . f (t ) e
at
拉普拉斯变换及反变换
u (t )
(指数函数)
（ t 0） 0 f (t ) t e （ t 0）
F(s)= ℒ [e ℒ [e
δ(t) t



( t ) dt 1


0
ℒ [ ( t )]

st ( t )e dt
0

0 0


( t )d t = 1
机械工程控制基础
4 . f (t ) t
拉普拉斯变换及反变换
（单位斜坡函数）
f(t)
0（ t 0） f (t ) t（ t 0）
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
则
拉普拉斯变换及反变换
ℒ [ 0
t

f ( )d ]
1 s
F ( s)
例
机械工程控制基础
四、时域平移
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
拉普拉斯变换及反变换
f(t)
平移
f(t-t0)
机械工程控制基础
五、 复频域平移
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
2
机械工程控制基础
六、初值定理和终值定理 初值定理
拉普拉斯变换及反变换
若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
t 0 s
则
f ( 0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )

终值定理
t
f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且
f ( ) lim f (t ) lim sF ( s )
r (t ) a0 r (t ) b1
e (t ) b0 e (t )
初态为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。
解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=L[e(t)] , R(S)=L[r(t)]
• 对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得 [S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s)

2 1 2/s
) 3
例3
I ( s ) ℒ [1 e ]
lim s (
s 0
1 s

1
1 s1
)1
i(t )
1 s
t

s1
机械工程控制基础
例4：已知F(s)=
1 s a
拉普拉斯变换及反变换 ，求f(0)和f(∞)
解：由初值定理得
f (0)
lim
sF ( s )
• 整理合并得
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
R(s ) ( s b1 b0 ) E ( s ) ( s a1 ) r (0 )＋r (0 ) s a1 s a0
2

机械工程控制基础
三、积分定理
ℒ
1[
1 s
] e
t
( t 0)
机械工程控制基础
2.3
一、线性性质
拉普拉斯变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质
若 ℒ [f1 ( t )] F1 ( s ) , ℒ [f 2 ( t )] F2 ( s )
则 ℒ [a f1 ( t ) b f 2 ( t )] aF ( s ) bF ( s ) 1 2
则
拉普拉斯变换及反变换
ℒ
[e
t
f ( t )] F ( s )
1 (s )
2
例1 ℒ [te
t
]
例2 ℒ [e t cos t ] 例3
s
2 2
(s ) t ℒ [e sin t ] 2 (s )
t s 0
lim f ( t )存在时
机械工程控制基础
例1
u (t )
t0

拉普拉斯变换及反变换
lim s
s
1 s
1
例2
I (s)

5 s1
s

2 s2
5 2 s2 ) lim (
s
i ( 0 ) lim s (
5 11/ s
s1
-t
L
例 右图所示电路中，电压源为
u i (t ) e
at
u (tFra Baidu bibliotek)
，
R i(t) L h(t)
试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)。 解（1）写出系统动力学方程
i (t ) R L di ( t ) dt u i (t )
u i (t )
（2）作Laplace变换得
I ( s ) R LsI ( s ) U i ( s )
at
]
]


0
e
1
at
e
st
dt
1 sa

e
( s a )t 0

1 sa
j t
s j
机械工程控制基础
3 . f ( t ) ( t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0 ) (t ) (t 0 )
拉普拉斯变换及反变换
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
机械工程控制基础
（3）求系统传递函数 H(s)
（4）应用时域卷积定理
I (s) U i (s ) 1 R Ls
拉普拉斯变换及反变换
h(t) Ui(s) H(s) I(s)
I(s)=Ui(s)H(s)= ℒ[ui(t)] H(s)
=ℒ e
at
( t ) R Ls
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
二、拉普拉斯反变换 1、由象函数求原函数 f(t)=L-1[F(s)] （1）利用公式
f (t )
2πj
1
j
j
F ( s )e d s
st
t 0
较麻烦
（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表
F ( s ) F1 ( s ) F 2 ( s ) F n ( s )
0

st

t
n
e
t
n st
st 0


s

0

dt s
n

n s

t
n1
e
st
dt
lim
t
0
e
[t ]
n
n s
ℒ [ t n 1 ]
机械工程控制基础
ℒ [t ]
n
拉普拉斯变换及反变换
n s
ℒ [ t n 1 ]
1 s
2
当 n＝1， ℒ [ t ]
2
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
补充：拉普拉斯变换及反变换 概述 拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。 把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经 求解再还原为时间函数。
机械工程控制基础
内容
一、 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换及反变换
（1）定义
（2）常用函数的拉普拉斯变换 （3）拉普拉斯变换的基本性质 二、 拉普拉斯反变换
机械工程控制基础
一、拉普拉斯变换 1. 定义
L aplace 正变换
Laplace 反变换
拉普拉斯变换及反变换
F (s)
f (t ) 1
0
0

表示为：
st
f (t ) e — —
j
dt
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ -1[F(s)]
2 j


j
F ( s )e ds
0
t

F(s)=L[f(t)]= te
0

st
dt
t s
e
st
0

1
s

e
st
0
dt
1 s
2
机械工程控制基础
5 . f ( t ) t （幂函数）
n
拉普拉斯变换及反变换
ℒ [t ]
n



t e

n
st
0
dt
e
st
0

t
n
de s
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
• 作业
1、 写出拉普拉斯变换定义式 2、
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
1
__
(s-1)2
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
1

1 sa

1 L

1 s R L
（5）作Laplace反变换得
零状态响应电流 i(t)=
ℒ-1[I(s)]
L(
1 R L a)
(e
at
e

R L
t
) (t )
机械工程控制基础
八、S域卷积性
L L
拉普拉斯变换及反变换
域 卷 积 性 ： 若 f 1 ( t ) F1 ( s ), f 2 ( t ) F 2 ( s ) 则 f1 ( t ) f 2 ( t )
L
1 2 j
F1 ( s ) F 2 ( s )
九、尺度变换性
机械工程控制基础
拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换的基本性质表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础

( n 1)
（0 ）

例1
ℒ [co s t ] ℒ [
1
1 d

[s

s
2 2
dt
(sin t )]
sin t
0

]

s s
2 2
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
d
2 2
拉普拉斯变换及反变换
d dt
dt
r (t ) a1
d dt