2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三(上)第一次模拟数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）第一次模拟数
学试卷1
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合M ={x|x 2<36}，N ={2,4，6，8}，则M ∩N =( )
A. {2,4}
B. {4,6}
C. {2,6}
D. {2,4，6} 2. (文)已知复数z =6+8i ，则−|z|=( )
A. −5
B. −10
C. 14
9 D. −16
9 3. 定义在R 的奇函数f(x)，当x <0时，f(x)=−x 2+x ，则f(2)等于( )
A. 4
B. 6
C. −4
D. −6
4. 设函数f(x)=sin(x +π
4)，则下列结论错误的是( )
A. f(x)的一个周期为−2π
B. f(x)的图象关于直线x =π4对称
C. f(x)的图象关于(−π
4,0)对称
D. f(x)在(0,π
2)单调递增
5. 已知a =21
2，b =31
3，c =ln 3
2，则( )
A. a >b >c
B. a >c >b
C. b >a >c
D. b >c >a
6. “b =0”是“函数f(x)=ax 2+bx +c 为偶函数”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 若函数f(x)=2x −sinx ，则满足f(2x −1)>f(x +1)的实数x 的取值范围是( )
A. (−∞,−1)
B. (−1,2)
C. (−2,1)
D. (2,+∞)
8. 已知tan(α+β)=−1，tan(α−β)=1
2，则sin2α
sin2β的值为( )
A. 1
3
B. −1
3
C. 3
D. −3
9. 已知a >1，设函数f (x )=a x +x −4的零点为m ，g (x )=log a x +x −4的零点为n ，则m +n =
( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10. 已知角α，β的始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A(12
,√32
)和B(−√22
,√2
2
)，
则sin(α−β)=( )
A. √6−√24
B. −√6−√24
C. −√6+√24
D. √6+√24
11. 函数y =cos (2x −
3π2
)是( )
A. 最小正周期为π
2的奇函数 B. 最小正周期为π
2的偶函数 C. 最小正周期为π的奇函数
D. 最小正周期为π的偶函数
12. 在△ABC 中，若c 2=a 2+b 2+ab ，则△ABC 是( )
A. 等边三角形
B. 锐角三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. △ABC 中，已知a =4，b =6，sinB =3
4，则∠A = ______ ． 14. 已知tanα=2，则sinαcosα+2cos 2α= ______ ．
15. 已知f′(x)是定义在R 上的函数f(x)的导数，且满足f′(x)+2f(x)>0，f(−1)=0，则f(x)<0
解集为______ ．
16. 已知sinα+sinβ=1
2，cosα+cosβ=−√2
2
，则cos(2α−2β)=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在一项研究中，为尽快攻克某一课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行
对比试验，现随机在这两个小组各抽取40个数据作为样本，并规定试验数据落在[495,510)之内的数据作为理想数据，否则为不理想数据．试验情况如表所示
(1)由以上统计数据完成下面2×2列联表；
(2)判断是否有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关；说明你的理由；(下面的临界值表供参考)
(参考公式：K 2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n =a +b +c +d)
18.如图，函数f(x)=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0≤θ≤π
2
)的图象
与y轴相交于点(0,√3)，且该函数相邻两零点距离为π
2
．(Ⅰ)求θ和ω的值；
(Ⅱ)若f(1
2x−π
12
)=8
5
，x∈(0,π)，求sinx+sin2x
1+cosx+cos2x
值．
19.在△ABC中，已知cosC+cosAcosB−√3sinAcosB=0
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)若a+c=1，求b的取值范围．
20.已知函数f(x)=lnx+2
x −ae x
x2
(a∈R)．
(1)当a=0时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，求实数a 的取值范围．
21. 已知函数f(x)=lnx +ax 2−2ax(a ∈R)．
(1)当a =1时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)令g(x)=f(x)−1
2x 2，若x ∈(1,+∞)时，g(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围．
22. 已知曲线C 的参数方程为{x =3cosφ
y =3+3sinφ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系．
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)已知倾斜角为135°且过点P(1,2)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求1
|PM|+1
|PN|的值．
23.已知函数f(x)=|x+2|．
(1)解不等式2f(x)<4−|x−1|；
(2)已知m+n=1(m>0,n>0)，若关于x的不等式|x−a|−f(x)⩽1
m +1
n
恒成立，求实数a
的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：M={x|−6<x<6}；
∴M∩N={2,4}．
故选：A．
可求出集合M，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
2.答案：B
解析：
【分析】
本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
直接利用复数的求模公式求解即可．
【解答】
解：复数z=6+8i，则−|z|=−√62+82=−10．
故选B．
3.答案：B
解析：
【分析】
本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，属较易题．根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】
解：∵定义在R的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=−x2+x，
∴f(2)=−f(−2)=−[−(−2)2−2]=6，
故选：B．
4.答案：D
解析：
【分析】
本题考查正弦函数的图像和性质，属于基础题．
根据正弦函数的性质判断各选项即可．
【解答】
解：函数f(x)=sin(x+π
4
)，根据正弦函数的性质f(x)的周期为，k∈Z，令k=−1，则，∴A正确．
当x=π
4时，可得函数f(x)=sinπ
2
=1，∴f(x)的图象关于直线x=π
4
对称，∴B正确．
当x=−π
4时，可得函数f(x)=sin0=0，∴f(x)的图象关于(−π
4
,0)对称，∴C正确．
当时，，此时函数f(x)不是单调函数，∴f(x)在(0,π
2
)单调递增不对．故选D．
5.答案：C
解析：
【分析】
本题考查比较大小，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用指数函数和对数函数的性质即可比较．
【解答】
解：因为a=212>20=1，b=313>30=1，且(212)6=8<9=(313)6，
所以b>a，
又，
所以b>a>c，
故选C．
6.答案：C
解析：解：由题意，得二次函数的图象关于y轴对称，
则对称轴为x=−b
2a
=0，
则b=0，
故选C．
通过“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，”根据二次函数的对称性，得其对称轴是y轴，从而求得b.即可判断充要条件．
本题考查函数的奇偶性，注意二次函数的对称轴是解题的关键．
7.答案：D
解析：
【分析】
本题主要考查函数的单调性，导数的知识，解答本题的关键是知道f′(x)=2−cosx>0，f(x)是增函数，由f(2x−1)>f(x+1)得2x−1>x+1，x>2．
【解答】
解：f(x)=2x−sinx，f′(x)=2−cosx>0，
∴f(x)是增函数，由f(2x−1)>f(x+1)得2x−1>x+1，
∴x>2，
∴实数x的取值范围是(2,+∞)，
故选D．
8.答案：A
解析：
【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角函数公式，由sin2α
sin2β=sin[(α+β)+(α−β)]
sin[(α+β)−(α−β)]
化简即
可得出结果．【解答】
解：sin2α
sin2β=sin[(α+β)+(α−β)]
sin[(α+β)−(α−β)]
=
sin(α+β)cos(α−β)+cos(α+β)sin(α−β)
sin(α+β)cos(α−β)−cos(α+β)sin(α−β)
=tan(α+β)+tan(α−β) tan(α+β)−tan(α−β)=1
3
．
故选A．
9.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，函数与反函数图象间的关系，属于中档题．
由题意可得，函数y=a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为m，函数y=log a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为n.再根据函数y=a x和y=log a x互为反函数，可得点(m,4−m)与点
(n,4−n)关于直线y=x对称，m+n
2=4−m+4−n
2
，可得m+n=4．
【解答】
解：∵a>1，设函数f(x)=a x+x−4的零点为m，g(x)=log a x+x−4的零点为n，
∴函数y=a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为m，
函数y=log a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为n，
再根据函数y=a x和y=log a x互为反函数，可得点(m,4−m)与点(n,4−n)关于直线y=x对称，
∴m+n
2=4−m+4−n
2
，可得m+n=4，
故m+n的值为4，
故选C．
10.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查了三角函数中两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
由A(1
2,√3
2
)和B(−√2
2
,√2
2
)，求出sin(α)=√3
2
,cos(α)=1
2
,sin(β)=√2
2
,cos(β)=−√2
2
，进而求得答案．
【解答】
解：∵角α，β的始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A(1
2,√3
2
)和B(−√2
2
,√2
2
)，
∴sin(α)=√3
2,cos(α)=1
2
,sin(β)=√2
2
,cos(β)=−√2
2
，
∴sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)
=
√3
2
×(−
√2
2
)−
1
2
×
√2
2
=−√6+√2
4
．
故选C．
11.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查了诱导公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质.属于简单题．【解答】
解：∵cos(2x−3π
2
)=−sin2x，
∴函数是最小正周期为π的奇函数，选C项．
故选C．
12.答案：D
解析：解：∵c2=a2+b2+ab，
∴cosC=a2+b2−c2
2ab =−ab
2ab
=−1
2
，
∴C=2π
3
为钝角．
∴△ABC是钝角三角形．故选：D．
由c2=a2+b2+ab，利用余弦定理可得cosC=a2+b2−c2
2ab =−ab
2ab
=−1
2
，即可得出．
本题考查了利用余弦定理判定三角形的形状，属于基础题．13.答案：π
6
解析：解：∵由正弦定理可得：sinA=asinB
b =4×
3
4
6
=1
2
，
∵a=4<b=6，
∴由三角形中大边对大角可知A为锐角，∴可解得：A=π
6
．
故答案为：π
6
．
由正弦定理可得：sinA=asinB
b =1
2
，由三角形中大边对大角可知A为锐角，从而可解得A=π
6
．
本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角等知识的应用，属于基础题．14.答案：4
5
解析：解：∵tanα=2，则sinαcosα+2cos2α=sinαcosα+2cos2α
sinα+cosα
=tanα+2
tan2α+1=4
5
，
故答案为：4
5
．
由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinαcosα+2cos2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
15.答案：(−∞,−1)
解析：解：设g(x)=e 2x f(x)，
∴g′(x)=2e 2x f(x)+e 2x f′(x)=e 2x (f′(x)+2f(x))>0， ∴g(x)在R 上为增函数， ∵f(x)<0=f(−1) ∴g(x)<g(−1)
∴x <−1，即f(x)<0解集为(−∞,−1)， 故答案为(−∞,−1)．
设g(x)=e 2x f(x)，求导，判断出g(x)在R 上为增函数，利用单调性即可求出不等式的解集． 本题考查了导数的应用，关键是构造函数，利用导数判断函数的单调性，属于中档题．
16.答案：−7
32
解析： 【分析】
本题主要考查了两角差的余弦公式和二倍角公式，是基础题．
根据题意，两等式平方相加，可得cos(α−β)的值，再根据二倍角公式计算cos(2α−2β)的值． 【解答】
解：sinα+sinβ=1
2，cosα+cosβ=−√2
2
，
∴sin 2α+2sinαsinβ+sin 2β=1
4， cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β=1
2， ∴2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=34， ∴cosαcosβ+sinαsinβ=−5
8，
∴cos(α−β)=−5
8
，
∴cos(2α−2β)=2cos 2(α−β)−1
=2×(−5
8)2−1=−732． 故答案为−732．
17.答案：解：(I)根据以上统计数据完成2×2列联表，如下；
k =n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=
80×(120−360)266×14×40×40
≈3.117>2.706，
所以有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关．
解析：(I)根据题意填写列联表；
(II)由表中数据计算K 2的值，对照临界值得出结论．
本题考查了频率分布表与独立性检验的应用问题，是基础题． 18.答案：解：(1)由题意可得T =2πω
=2×π
2
，∴ω=2.将x =0，y =√3代入函数f(x)=2cos(2x +θ)得cosθ=√3
2，
因为0≤θ≤π2，所以θ=π6，∴f(x)=2cos(2x +π
6). (2)∵sinx+sin2x
1+cosx+cos2x =
sinx(1+2cosx)cosx+2cos x
=tanx ，
又f(1
2x −π
12)=8
5，由(1)可知2cos[2(x
2−π
12)+π
6]=2cosx =8
5⇒cosx =4
5， 又x ∈(0,π)，∴x ∈(0,π
2)，∴tanx =3
4，即sinx+sin2x
1+cosx+cos2x =3
4．
解析：(1)由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
(2)利用三角恒等变换可得要求的式子为tan x ，由条件求得cos x 的值，结合x 的范围，求得tan x 的值． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图 求出φ的值，属于基础题．
19.答案：解：(Ⅰ)由已知得cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，
即cosAcosB +cos[π−(A +B)]=√3sinAcosB ． cosAcosB −cos(A +B)=√3sinAcosB ．
所以sinAsinB =√3sinAcosB ，两边除以sin A cos B ，得，tanB =√3， ∴B =π
3，
(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =1−3ac ． ∵a +c =1≥2√ac ， ∴ac ≤14．
∴b 2=1−3ac ≥1
4，即b ≥1
2．
再由b <a +c =1，可得 1
2≤b <1，故边b 的取值范围是[1
2,1)．
解析：(Ⅰ)利用两角和的余弦公式，将cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，变形为sinAsinB =√3sinAcosB ，即可求B ．
(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=1−3ac ，利用基本不等式求出b ≥1
2，再由b <a +c =1，求出边b 的取值范围．
本题考查三角函数公式，余弦定理、基本不等式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力，属于中档题．
20.答案：解：(1)因为a=0，所以f(x)=lnx+2
x
，
所以f′(x)=1
x −2
x2
，令f′(x)=0得x=2，列表如下：
因此，当x=2时，f(x)有极小值f(2)=ln2+1，无极大值．
(2)因为f′(x)=1
x −2
x2
−ae x(x−2)
x3
=(x−ae x)(x−2)
x3
，
由0<x<2，得x−2
x3
<0，记g(x)=x−ae x,x∈(0,2)，
因为f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，
所以g(x)在区间(0,2)内有两个零点，
所以g′(x)=1−ae x且a>0，
令g′(x)=0，则x=−lna，
①当−lna≤0，即a≥1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,2)上单调递减，
至多与x轴有一个交点，不满足题意；
②当−lna≥2，即0<a≤1
e2
时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，至多与x轴有一个交点，不满足题意；
③当0<−lna<2，即1
e2
<a<1时，
g(x)在(0,−lna)上单调递增，在(−lna,2)上单调递减；
由g(0)=−a<0，要使g(x)在区间(0,2)内有两个零点，
必须满足{g(x)max=g(−lna)=−lna−1>0, g(2)=2−ae2<0,
解得2
e2<a<1
e
．
综上所述，实数a的取值范围是(2
e2,1
e )．
解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值、不等式恒成立问题，属于难题．
(1)求出导数，利用f′(x)=0，求出x的值，列出表格即可求出结果；
(2)求出导数，由0<x<2，得x−2
x3
<0，记g(x)=x−ae x,x∈(0,2)，因为f(x)在区间(0,2)内有两
个极值点，所以g(x)在区间(0,2)内有两个零点，所以g′(x )=1−ae x 且a >0，g′(x )=0，则x =−lna ，分类讨论①当−lna ≤0，②当−lna ≥2，③当0<−lna <2，，即可求出结果．
21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=lnx +x 2−2x ，
∴f′(x)=1
x +2x −2，
∴f′(1)=1+2−2=1，又f(1)=1−2=−1， ∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x −y −2=0． (2)∵g(x)=f(x)−1
2x 2=lnx +ax 2−2ax −1
2x 2， ∴g′(x)=1
x +2ax −2a −x =2a(x −1)+
(1−x)(1+x)
x
=
(x−1)[(2a−1)x−1]
x
．
①当a ≤12时，2a −1≤0，x ∈(1,+∞)时，恒有g′(x)<0， ∴函数g(x)在区间(1,+∞)上是减函数，
∵g(x)≤0在x ∈(1,+∞)上恒成立，只需满足g(1)=−a −1
2≤0， 解得a ≥−1
2，∴−1
2≤a ≤1
2．
②当1
2<a <1时，x ∈(1
2a−1,+∞)时，g′(x)>0， ∴g(x)在(1
2a−1,+∞)上是增函数， ∴g(x)∈(g(12a−1),+∞)，不合题意，
③当a ≥1时，同理可知，g(x)在(1,+∞)上是增函数， ∴g(x)∈(g(1),+∞)，不合题意， 综上可知：a ∈[−12,12]．
解析：(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；
(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，确定a 的范围即可．
本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =3cosϕ
y =3+3sinϕ(φ为参数)，
消去参数得曲线C 的普通方程为x 2+(y −3)2=9，即x 2+y 2−6y =0， 即x 2+y 2=6y ，即ρ2=6ρsinθ，故曲线C 的极坐标方程为ρ=6sinθ． (Ⅱ)设直线l ：{x =1−√2
2t
y =2+√2
2t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2+y 2−6y =0中，
化简可得t 2−2√2t −7=0，显然△>0；
设M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2，故{t 1+t 2=2√2
t 1t 2=−7
，
∴
1|PM|
+
1|PN|
=
|PM|+|PN||PM|⋅|PN|
=
|t 1−t 2||t 1t 2|
=
√(t 1+t 2)2−4t 1t 2
|t 1t 2|
=6
7
．
解析：(Ⅰ)曲线C 的参数方程化为普通方程x 2+y 2−6y =0，由此能求出曲线C 的极坐标方程． (Ⅱ)直线l ：{x =1−√2
2
t
y =2+√2
2t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2+y 2−6y =0中，得t 2−2√2t −7=0，
由此能求出1
|PM|+1
|PN|的值．
本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段长的倒数和的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
23.答案：解：(1)不等式2f(x)<4−|x −1|等价于2|x +2|+|x −1|<4，
即{x ⩽−2−2(x +2)−x +1<4或{−2<x <1
2(x +2)−x +1<4或{
x ⩾12(x +2)+x −1<4, 解得−7
3<x ⩽−2或−2<x <−1或x ∈⌀， 所以不等式的解集为{x|−7
3<x <−1}；
(2)因为|x −a|−f(x)=|x −a|−|x +2| ⩽|x −a −x −2|=|a +2|， 所以|x −a|−f(x)的最大值是|a +2|， 又m +n =1(m >0,n >0)， 于是(1
m +1
n )(m +n)=n
m +
m n +2⩾2+2=4，
当且仅当n
m =m
n ，即m =n =1
2时等号成立， 故1
m +1
n 的最小值为4，
要使|x −a|−f(x)⩽1
m +1
n 恒成立， 则|a +2|⩽4，解得−6⩽a ⩽2， 故实数a 的取值范围是[−6,2]．
解析：本题考查了不等式的恒成立问题，绝对值不等式求解，利用基本不等式求最值，属于中档题． (1)由已知不等式2f(x)<4−|x −1|等价于2|x +2|+|x −1|<4，分三种情况即可解出不等式的解集；
(2)由已知得到|x −a|−f(x)的最大值是|a +2|，利用基本不等式求出1
m +1
n 的最小值，得到|a +2|⩽4，即可求出实数a 的取值范围．。