线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
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1 2 n
与之对应并相等; 反之 , 对于 D1 中任意一项
中的项可以一一对应并相等,
从而 D D1 .
定理2′ n 阶行列式也可定义为
D 1 a p1q1 a p2q2 a pnqn
t
其中 p1 p2 pn , q1q2 qn 是两个 n 级排列， t 为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变
奇偶性 .
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 由定理 1 知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0), 因此知 推论成立.
定理2 n阶行列式也可定义为
D 1 a p1 1a p2 2 a pnn
t
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数. 证明 按行列式定义有
D 1 a1 p1 a2 p2 anpn
t
记
D1 1 a p1 1a p2 2 a pnn
t
对于 D 中任意一项
a32a43a14a51a25a66 可改写为 a14 a25a32 a43a51a66 ,
此时列标的逆序数为 t 452316 8 , 所以， a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
(1) a23a31a42a56a14a65 ; ( 2) a32a43a14a51a66a25 .
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同
列的三个元素的下标排列．
例如 a13 a 21a 32
列标排列的逆序数为
偶排列 正号
t 312 1 1 2,
a11a 23 a 32
列标排列的逆序数为 奇排列 负号,
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 al a a b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 先证相邻对换的情形 . 设排列为
解 (1) a23a31a42a56a14a65 可改写为 a14a23a31a42a56 a65 , 431265的逆序数为
t 1 0 2 2 1 0 6,
a23a31a42a56a14a65 前边应带正号. 所以，
( 2) a32a43a14a51a66a25
行标排列341562的逆序数为
若 p1 4 a1 p1 0,
所以 p1只能等于 4 ,
从而这个项为零，
同理 p2 3, p3 2, p4 1.
即行列式中不为零的项为a14a 23a 32a41 .
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
t 0 1 0 3 1 5.
计算下列排列 n n 1 n 2 的逆序数，并讨论它的奇偶性. 例2 解 t 1 2
(n 2) n 1
321
n n 1 , 2
当 n 4k ,4k 1 时为偶排列； 当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
再证一般对换的情形 . 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn ,
现来对换 a 与 b .
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a c c 1 l 1 m 1 n
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2 n
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定
义的;
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 , 当 a b时，
b 的逆序数不变 ;
b 的逆序数减少 1 . 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 .
列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a不要与绝对值记号混淆;
t a a a 5、 1 p1 2 p2 npn 的符号为 1 .
例1
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
分析 展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4
a11a22 ann .
例4
证明对角行列式
1 2
12 n ;
n
1
n n1 2
2
1
12 n .
n
证明
若记
第一式是显然的,下面证第二式.
i ai ,ni 1 , 则依行列式定义
1 2
a n1 a 2 , n 1 a1n
n
1
1
t n n1 21
n n1 2
a1na2,n1 an1
证毕
12 n .
第一章 行列式 第四节 对 换
一、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元
素不动，这种作出新排列的操作叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
逆序数为0 0
1
3 2 5 1 4
1 3
故此排列的逆序数为0+1+0+3+1=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列. 计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码
个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这
些元素的逆序数之和即为所求排列的逆序数.
a11
a12 a22 0
a1n a2 n ann
例2
计算上三角行列式
0 0
分析 展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 anpn .
pn n, pn1 n 1, pn 3 n 3, p2 2, p1 1,
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 1t 12n a a a 11 22 nn 0 0 ann a11a22 ann .
1 a1 p a2 p anp ,
t
1 2 n
总有且仅有 D1 中的某一项 1 aq1 1aq2 2 aqnn ,
s
1t a p 1a p 2 a p n , 也总有且仅有 D 中的某一项 s 1 a1q a2 q anq 与之对应并相等 , 于是D与 D1
1 2 n
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不
同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4
it is in 中，若
it i s ，则称这两个数组成一个逆序.
逆序
逆序
定义
的逆序数.
一个排列中所有逆序的总数称为此排列
例如
排列32514 中，
例1 试判断 a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66
是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65 列标的逆序数为
t 431265 0 1 2 2 0 1 6
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
同的排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的
全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 Pn
表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数
例1 求排列32514的逆序数. 在排列32514中,
解
3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
Dn 1
n1 n 2
2
n!.
小结
1. n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2. 排列具有奇偶性.
3. 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
4. 行列式是一种特定的算式，它是根据求解
方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要
而定义的. 5. n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排列 的逆序数决定.
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 ,
t1 t2 10 ,
a32a43a14a51a66a25 前边应带正号. 所以，
例3
用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
a11 记作 D a21 a n1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素．
其中 p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
例3 计算
1 0 D 0 0
2 4 0 0
3 2 5 0
4 1 6 8
解
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
同理可得下三角行列式
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an2 a n 3 a nn
第一章 行列式
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重
复数字的三位数？
解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不
t 132 1 0 1,
a11 a12 a13 a21 a22 a23 ( 1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a31 a32 a33
二、n 阶行列式的定义
定义 由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积 的代数和
t ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn .
t 解 Dn 1 a1,n1a 2,n 2 a n1,1a nnwk.baidu.com
1 1 2n 1 n 1t n! ,
t
t n 1n 221n
0 1 2 n 3 n 2 0
n 1 n 2 , 2
与之对应并相等; 反之 , 对于 D1 中任意一项
中的项可以一一对应并相等,
从而 D D1 .
定理2′ n 阶行列式也可定义为
D 1 a p1q1 a p2q2 a pnqn
t
其中 p1 p2 pn , q1q2 qn 是两个 n 级排列， t 为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变
奇偶性 .
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 由定理 1 知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0), 因此知 推论成立.
定理2 n阶行列式也可定义为
D 1 a p1 1a p2 2 a pnn
t
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数. 证明 按行列式定义有
D 1 a1 p1 a2 p2 anpn
t
记
D1 1 a p1 1a p2 2 a pnn
t
对于 D 中任意一项
a32a43a14a51a25a66 可改写为 a14 a25a32 a43a51a66 ,
此时列标的逆序数为 t 452316 8 , 所以， a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
(1) a23a31a42a56a14a65 ; ( 2) a32a43a14a51a66a25 .
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同
列的三个元素的下标排列．
例如 a13 a 21a 32
列标排列的逆序数为
偶排列 正号
t 312 1 1 2,
a11a 23 a 32
列标排列的逆序数为 奇排列 负号,
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 al a a b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 先证相邻对换的情形 . 设排列为
解 (1) a23a31a42a56a14a65 可改写为 a14a23a31a42a56 a65 , 431265的逆序数为
t 1 0 2 2 1 0 6,
a23a31a42a56a14a65 前边应带正号. 所以，
( 2) a32a43a14a51a66a25
行标排列341562的逆序数为
若 p1 4 a1 p1 0,
所以 p1只能等于 4 ,
从而这个项为零，
同理 p2 3, p3 2, p4 1.
即行列式中不为零的项为a14a 23a 32a41 .
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
t 0 1 0 3 1 5.
计算下列排列 n n 1 n 2 的逆序数，并讨论它的奇偶性. 例2 解 t 1 2
(n 2) n 1
321
n n 1 , 2
当 n 4k ,4k 1 时为偶排列； 当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
再证一般对换的情形 . 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn ,
现来对换 a 与 b .
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a c c 1 l 1 m 1 n
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2 n
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定
义的;
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 , 当 a b时，
b 的逆序数不变 ;
b 的逆序数减少 1 . 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 .
列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a不要与绝对值记号混淆;
t a a a 5、 1 p1 2 p2 npn 的符号为 1 .
例1
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
分析 展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4
a11a22 ann .
例4
证明对角行列式
1 2
12 n ;
n
1
n n1 2
2
1
12 n .
n
证明
若记
第一式是显然的,下面证第二式.
i ai ,ni 1 , 则依行列式定义
1 2
a n1 a 2 , n 1 a1n
n
1
1
t n n1 21
n n1 2
a1na2,n1 an1
证毕
12 n .
第一章 行列式 第四节 对 换
一、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元
素不动，这种作出新排列的操作叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
逆序数为0 0
1
3 2 5 1 4
1 3
故此排列的逆序数为0+1+0+3+1=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列. 计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码
个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这
些元素的逆序数之和即为所求排列的逆序数.
a11
a12 a22 0
a1n a2 n ann
例2
计算上三角行列式
0 0
分析 展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 anpn .
pn n, pn1 n 1, pn 3 n 3, p2 2, p1 1,
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 1t 12n a a a 11 22 nn 0 0 ann a11a22 ann .
1 a1 p a2 p anp ,
t
1 2 n
总有且仅有 D1 中的某一项 1 aq1 1aq2 2 aqnn ,
s
1t a p 1a p 2 a p n , 也总有且仅有 D 中的某一项 s 1 a1q a2 q anq 与之对应并相等 , 于是D与 D1
1 2 n
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不
同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4
it is in 中，若
it i s ，则称这两个数组成一个逆序.
逆序
逆序
定义
的逆序数.
一个排列中所有逆序的总数称为此排列
例如
排列32514 中，
例1 试判断 a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66
是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65 列标的逆序数为
t 431265 0 1 2 2 0 1 6
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
同的排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的
全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 Pn
表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数
例1 求排列32514的逆序数. 在排列32514中,
解
3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
Dn 1
n1 n 2
2
n!.
小结
1. n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2. 排列具有奇偶性.
3. 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
4. 行列式是一种特定的算式，它是根据求解
方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要
而定义的. 5. n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排列 的逆序数决定.
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 ,
t1 t2 10 ,
a32a43a14a51a66a25 前边应带正号. 所以，
例3
用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
a11 记作 D a21 a n1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素．
其中 p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
例3 计算
1 0 D 0 0
2 4 0 0
3 2 5 0
4 1 6 8
解
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
同理可得下三角行列式
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an2 a n 3 a nn
第一章 行列式
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重
复数字的三位数？
解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不
t 132 1 0 1,
a11 a12 a13 a21 a22 a23 ( 1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a31 a32 a33
二、n 阶行列式的定义
定义 由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积 的代数和
t ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn .
t 解 Dn 1 a1,n1a 2,n 2 a n1,1a nnwk.baidu.com
1 1 2n 1 n 1t n! ,
t
t n 1n 221n
0 1 2 n 3 n 2 0
n 1 n 2 , 2