指数与指数函数
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指数与指数函数
一．基础知识 1．幂的有关概念
(1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n
个
(2)零指数幂)0(10
≠=a a (3)负整数指数幂()10,n
n
a
a n N a
-*
=
≠∈
(4)正分数指数幂)0,,,1m n
a a m n N n *=>∈>；
(5)负分数指数幂)10,,,1m n
m n
a
a m n N n a
-*
==
>∈>
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质
()()
10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈
()()
()20,,s
r rs a a a r s Q =>∈
()()
()30,0,r
r r ab a b a b r Q =>>∈
3．根式的内容
（1）根式的定义:一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(
)*
∈>N
n n ,1，
n
a 叫做根式，
n 叫做根指数，a 叫被开方数。
(2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨
⎧<-≥==0
0a a
a a a a n n
②负数没有偶次方根， ③零的任何次方根都是零
4指数函数y=a x
名称 指数函数
一般形式 y=a x (a>0且a≠1)定义域 (-∞,+ ∞) 值域 (0,+ ∞)过定点 （０，1） 图象
单调性 a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(-∞,+∞)上为减函数
值分布 当时且0,1>>x a y>1 当时且0,10>< 时且0,1<>x a 0 5.记住常见指数函数的图形及相互关系 二、题型剖析 1．指数化简和运算 例1．计算下列各式 ①3031 2)26()03.1(2 323)661()41(-⋅--+++- ② )0,0()21(2483 3 3 23 3 23 134>>⨯-÷++⋅-b a a a b a ab b b a a 思维分析：式子中既有分数指数、又有根式，可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算。在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法公式。 解 ：（1）原式 = 166 60814636256161)866() 2()3()23()6(16122231 23 +=++++=---+++- （2）原式= a a b a a b a a a a b a a b a b b a a =⋅--=⨯-÷ ++-3 13 13 13 13 13131313 13 1313 23 13 13 2 3 12) 2(224)8( 练习：计算 （1）2 133 2312 1 ) ()1.0()4()4 1(----⨯ b a ab 答案： 25 4 （2）021 23 1)12()9 7 2()71() 027.0(--+---- 答案：45 2．条件求值证明问题 例2．已知42 12 1 =+-a a ，求下列各式的值 （1）1 -+a a （2） 2 12 1232 3- - --a a a a 思维分析：如何合理运算已知条件，熟练掌握乘法公式及方程的观点处理问题。 解：（1）42 12 1=+- a a 两边平方得1416211=+∴=++--a a a a （2）原式= 151) 1)(()()(12 12 112 12 12 12 13 2 13 2 1 =++=-++-= ------ --a a a a a a a a a a a a 练习：设13 32--+=+x x x x 求的值。 答案：2 设 20)2()1(0)2)(1(32)1(31,2 213 331=∴=-+∴=--+⇒+=+⋅++ ==+--t t t t t t t x x x x x x t t x x 则 3指数函数的图象 例3．若直线y=2a 与函数)1,1(1≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点,则a 的取值范围是(2 1 0<