高等数学 第十二章 无穷级数

(2n + 2)(2n + 1) 2 2 x =4 x , = lim 2 n →∞ ( n + 1)
1 1 原级数收敛. ∴ x < 时 ，原级数收敛. ∴ R = . 2 2
2）
x ∑ 3n n =0
n →∞
∞
2 n +1
解： lim un +1 ( x ) = lim x n +1
2 n +3
n →∞
ρ =1
部分和极限 不定 比较审敛法 *积分判别法 积分判别法
根值审敛法 lim n un = ρ 用其它方
ρ <1
收 敛
ρ >1
法判别
发 散
正项级数比较审敛法 设 ∑ an与 ∑ bn是两个正项级数，且 an ≤ bn ( n = 1, 2,⋯) 是两个正项级数，
n =1 n =1 ∞ ∞
∴
1 R= = , ρ 5
1
( x − 1) n 2） ∑ n n =1 2 ⋅ n 解：令 t = x − 1,
∞
a n +1 1 ρ = lim = , n→ ∞ a 2 n
收敛区间(-1,3). 收敛区间
∴
R = 2, − 2 < x − 1 < 2,
∞
∞ (−1) n 1 因为 x = −1 时， ∑ n 收敛；x = 3 时，=1 n 发散； ∑ n =1 n
∞
nπ 3
:
n 用比值法, 用比值法 可判断级数 ∑ 2n 收敛 n=1
∞
再由比较法可知原级数收敛 .
利用比值判别法, 利用比值判别法 可知原级数 时发散， 在 时发散， 时 收敛； 收敛. 收敛； 时仅当 收敛
讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 例2 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性
(2)
∞ 2n − 1 x 2 n − 2 1 2 n −1 ∫0 S ( x)dx = ∑ 2n ∫0 x dx = ∑ 2n x n =1 x 2 n =1 1 ∞ x2 n 1 2 = x , = ∑( ) = ⋅ x2 2 − x2 x n =1 2 x 1− x≠0， x 2 / 2 < 1 2 x ∞
收敛， 也收敛； 则：⑴若级数 ∑ bn收敛，则级数 ∑ an也收敛； 发散， 也发散. ⑵若级数 ∑ an发散，则级数 ∑ bn也发散
n= n =1 n= n =1 n =1 ∞
∞
∞
n =1 ∞
常用来比较的级数： 常用来比较的级数：
当 p > 1 时收敛， 时收敛， 1 （1）p − 级数 ∑ p ） n =1 n 当 p ≤ 1 时发散 时发散.
n →∞
所以原级数仅条件收敛 所以原级数仅条件收敛 .
(n + 1)! (4) ∑ ( −1) n n +1 n =1
∞ n
因
un +1 = un
n+2 1 1 [ i ] = n + 1 (1 + 1 ) n (1 + 1 ) n n
n→∞
故原级数绝对收敛 .
二、求幂级数收敛域的方法 • 标准形式幂级数 先求收敛半径 R , 再讨论 x = ± R 标准形式幂级数: 处的敛散性 .
n =1 n =1
∞
∞
an lim = k , n →∞ b n ⑴若 0 < k < +∞,
同时收敛，同时发散； 则级数 ∑ an 与级数∑ bn 同时收敛，同时发散；
n =1 ∞
∞
⑵若k ⑶若 k
收敛， 收敛； = 0, 且级数 ∑ bn收敛，则级数 ∑ an 收敛；
n =1
n =1
n =1 ∞
所以原级数收敛域为 [-1,3).
例5
求下列幂级数的收敛半径 R . ∞ (2n )! 2 n x 1） ∑ 2 n =1 ( n !)
n →∞
解： lim
un +1 ( x ) [2(n + 1)]! 2 n + 2 (2n )! 2 n / x = lim ⋅x 2 2 n →∞ ( n + 1)! un ( x ) ( n !)
判别下列级数的敛散性: 例1 判别下列级数的敛散性
解答提示: 解答提示 (1) ∵ lim n n = 1 ,
n →∞
因调和级数发散, 因调和级数发散 据极限形式的比较判别法, 据极限形式的比较判别法 原级数发散 .
利用比值判别法, 可知原级数发散. 利用比值判别法 可知原级数发散
n cos2 (3) ∑ n 2 n =1
第九章 主要内容
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数展开法
对于函数项级数 求和 展开 当 当 *当 *当 时为数项级数; 时为数项级数; 时为幂级数; 时为幂级数; (在收敛域内进行) 在收敛域内进行)
( an , bn为傅氏系数)时, 为傅立叶级数. 为傅氏系数) 为傅立叶级数.
un ( x )
n →∞
3
x 3n
2 n +1
x 1 2 = lim = x , n →∞ 3 3
2
∴ ∴
x < 3 时
n →∞
∑
∞
x 2 n +1 收敛 . n 3
R = 3.
三、幂级数和函数的求法 • 求部分和式极限 • 初等变换法 分解、套用公式 初等变换法: 分解、 （在收敛区间内） • 映射变换法 在收敛区间内）
∴
x ′ 2 + x2 S ( x) = ( . 2 ) = 2 2 2− x (2 − x )
时上式也正确, 级数发散, 显然 x = 0 时上式也正确 而在 x = ± 2 级数发散 故和函数为
例8
求
的和函数. (n + 1) x n 的和函数 ∑
n =0
∞
n+2 = 1, R = 1, ρ = lim 解： ∵ n →∞ n + 1 ∞ ∞ 发散， 发散. 当x = 1, ∑ (n + 1) 发散， x = −1， (n + 1)( −1)n 发散. 当 ∑
n ( n + 1) 例10 求 ∑ 2n 的和. n =1
∞
1°
2°
3
°
将其转化成幂级数求和函数问题. 将其转化成幂级数求和函数问题.
∞ 1 2x n . 原式 = s( ), s( x ) = ∑ n ( n + 1) x = 2 2 (1 − x ) n =1
（ n n + 1） 1 ， n n + 1） S ( 1 ) . （ 推广： 推广： = S( ) ∑ 1 n = 5 ∑ 3n 3 n =1 n =1
1 = [cos1 + sin1]. 2
也可用间接法解本题.） （参见例6 ，也可用间接法解本题 ） 参见例
∞ ∞ ɶ 化 ∑ an = ∑ an x0 n = s ( x0 ), n =1 n =1 （间接法）求数项级数和： 间接法） ∞ 设法求出和函数s ( x ) = an x n , ∑ n =1
• 非标准形式幂级数
通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法
例4
求下列幂级数的收敛域 D. .
∞
( −1) n 5n x n 1） ∑ n n =1 an+1 5n+1 n ρ = lim = lim ⋅ n = 5, 解： n→∞ a n→∞ n +1 5 n
1 1 收敛区间 ( − , ), 5 5 ∞ ∞ 1 1 1 (−1) n 因为 x = − 时， ∑ n 发散；x = 5 时，=1 n 收敛， ∑ 5 n =1 n 1 1 所以收敛域 D = (− , ]. 5 5
基本问题：判别敛散性； 求幂级数收敛域； 基本问题：判别敛散性； 求幂级数收敛域； 求和函数； 函数展开成幂级数. 求和函数； 函数展开成幂级数.
一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim un = 0
n →∞
不满足
发 散
满足
un +1 =ρ 比值审敛法 lim n →∞ u n
x 2 x3 x n+1 n + ⋯ (−1 < x < 1) 4、 ln(1 + x) = x − + − ⋯ + (−1) 2 3 n +1
5、等比级数： 等比级数：
1 = 1 + x + x 2 + ⋯⋯ + x n + ⋯ (−1 < x < 1) 1− x
1 2 4 6 2n = 1 + x + x + x + ⋯ + x + ⋯ (−1 < x < 1) 2 1− x
∞
= +∞, 且级数∑ bn发散，则级数 ∑ an发散 发散， 发散.
n =1 n =1
∞
∞
3. 任意项级数审敛法 概念: 概念 设 若 若 为收敛级数， 为收敛级数， 收敛 , 称 发散 , 称 绝对收敛, 绝对收敛 条件收敛. 条件收敛 且 收敛 , 且余项
Leibniz判别法 若 判别法: 判别法 则交错级数
n=0
∴
收敛域为（ 收敛域为（-1，1）. ）
∞ n n =0
n =0
设 s( x) =
∑ (n + 1)x , ∞ x x s( x )dx = ∑ ∫ (n + 1) x ndx ∫0 0 n =0
=∑x
n =0 ∞ n +1
x 1 )′ = ∴ s ( x) = ( 1− x (1 − x) 2
1 = 1 − x + x 2 − ⋯⋯ + − 1 x n + ⋯ (−1 < x < 1) （ ） 1+ x
注意： 注意：
x ∑ x = x + x + ⋯⋯ + x + ⋯ = 1 − x n =1
n 2 n
∞
(−1 < x < 1)
例6 求幂级数 先求出收敛区间 解法1： 解法 ： 则
的和函数. 的和函数 设和函数为
1 2
x = sin x, 2
1 x ∴ S ( x ) = sin x + cos x, 2 2
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解法2： 解法 ： 易求出级数的收敛域为 原式
，
1 x = sin x + cos x , 2 2
例7 求幂级数
的和函数. 的和函数
解: 先求出收敛区间 (− 2, 2), 设和函数为 S ( x).
∞
例如
1 1 ∑ 2n 收敛 (q = 2 < 1); n =0
∞
(−1) n 1 ∑ 3n 收敛 ( q = 3 < 1); n =0
∞
∑1 发散(q = 1)；
n =0
∞
3 n 3 （ ∑ (− 2 ) 发散 q = 2 > 1). n =0
∞
是两个正项级数， 极限形式的比较审敛法 设 ∑ an 与∑ bn 是两个正项级数，且
∞
1
n +1
收敛, 收敛 故
n +1 (3) ∑ ( −1) ln n n =1
∞ n
因
单调递减, 单调递减 且
判别法知级数收敛 由Leibniz判别法知级数收敛 ; 判别法知级数 但
n +1 ∑ ln n n =1
∞
= lim ∑ ( ln( k + 1) − ln k
n →∞ k =1
n
)
= lim ln( n + 1)
1、
x2 xn x e = 1 + x + + ⋯ + + ⋯ (−∞ < x < +∞) 2! n!
x3 x5 x 2 n+1 2、 sin x = x − + − ⋯ + (−1)n +⋯ (−∞, +∞) 3! 5! (2n + 1)!
2n x2 x4 x 2n cos x = 1 − + − ⋯ + (−1)n + ⋯ (−∞ < x < +∞) 3、 2! 4! (2n)!
∞
例如
1 ∑n2 收敛 ( p = 2 >1); n=1 1 ∑n 发散 ( p =1); n=1
∞ ∞
∞
∑
n=1
∞
1
3 n=1 2 n
3 收敛 ( p = >1); 2
∑
1 1 发散 ( p = <1). 2 n
（2）等比级数 ）
1 q < 1 时，收敛于 n 1− q , ∑q n =0 q ≥ 1 时，发散.
∑a
n= n =0
∞
n
x
n
逐项求导或求积分
∑a
n =0
∞
∗ n
x
n
难
求和 对和式积分或求导
S ( x)
S ( x)
∗
直接求和: 直接变换, 直接求和 直接变换 求部分和等 数项级数求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 间接求和 转化成幂级数求和 再代值
熟悉常用函数的幂级展开式： 熟悉常用函数的幂级展开式：
n +1 (3) ∑ ( −1) ln ; n n =1
∞ n
∑ (−1)
n =1
∞
sin nπ 1 n +1 +
π
n +1
;
提示: (1) 提示
P >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .
∑π
n =1
x = 1− x
( x < 1),
( x < 1).
直接法) *例9 （直接法)求级数 解: 原式 =
的和 .
1 ∞ ( −1)n [ (2n + 1) + 1 ] ∑ ( 2 n + 1)! 2 n =0
1 ∞ ( −1) n ∞ ( −1)n = ∑ +∑ 2 n =0 ( 2 n )! n =0 ( 2 n + 1)!