高考数学二轮复习系列
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要
1.定义：an-an-1=d（d为常数） （n≥2）
点 2.等差数列的通项公式：
复 an=a1+(n-1)d
习 3.等差数列的通项变形公式：
an=am+（n-m）·d
4.数列{an}为等差数列，则通项公式 an=pn+q (p、q是常数),反之亦然。
例1．(06重庆卷)在数列中，若 a1 1 ，an1 an 2 则该数列的通项 an _________
解：由等差数列性质易知：
a2 + a11 = a3 + a10 = a5+ a8 ∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2（a5+ a8）=36 ∴ a5+ a8 =18
【题型4】等差数列性质的灵活应用
练习：已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9 项和S9等于 （ C ）
A.18
a a 设共有n项，即， 1 =100 ，d = 5 ， n =995
由 an a1 (n 1)d 得 995 =100 + 5（n-1） 即 n =180
S180
180(100 2
995)
98550
所以在三位正整数的集合中5的倍数有180个，它 们的和是98550
【题型2】等差数列的前n项和
∴ 26 = 10 + 4d
∴d = 4
∴a14 = a6 + 8d = 26 + 8×4 = 58
【题型1】等差数列的基本运算
练习：等差数列{an}中，已知a 1=
1 3
，a 2 + a 5 =4
a n = 33，则n是（ C ）
A.48
B.49
C.50 D.51
解： a 2 a 5 4 2a15d 4
a a ∴ 14 = 1 + 13d = 6 + 13×4 = 58
二、【题型剖析】
【题型1】等差数列的基本运算
a a a 等差数列{an}中，若 2 = 10， 6 = 26 ，求 14
利用性质an am (n m)d
解：法二、
a a 由性质， an am (n m)d 得： 6 = 2 + 4d
练习１：
数列{an}的通项公式是an 2n 5,则此数列的 首项是 _____, 公差为____;
等差数列的前n项和公式:
Sn
n(a1 an ) 2
或
Sn
na1
n(n 1)d 2
注意：两n个, a公1 , 式d中,都a三n表个明要求 S必n 须已知
在等差数列中,已知a2 12, a5 27, 求d及sn .
B.27
C.36
D.4 5
解： a1a9 a 2 a8 8
s9
9(a1a9 ) 2
9*8 2
36
二、【题型剖析】
【题型5】等差数列的判定与证明
例题：已知数列 { an } 是等差数列,bn= 3an + 4，证明 数列 { bn } 是等差数列。
的等Leabharlann Baidu数列.。
每K项的和成等差数列
例3.在等差数列{an}中: (1) 若a1 a2 a3 a4 a5 20,则a3 _____;
(2) 若前12项和S12 21,则a2 a5 a8 a11 ___;
(3) 等差数列{an }的前m项和为30，前2m项和
为100，则它的前3m项和为（ ）
把
a1
1 3
代入上式得
d2 3
a n a1(n 1)d
解得： n 50
1 2 (n 1) 33 33
【题型2】等差数列的前n项和
例题：在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍 数？求它们的和。
解：在三位正整数的集合里，5的倍数中最小是 100，然后是105、110、115…即它们组成一个以 100为首项，5为公差的等差数列，最大的是995
a 练习：等差数列{ n}中, a1 a2 a3 24, a18 a19 a20 78
则此数列前20项的和等于（ B ）
A.160
B.180
C.200
D.220
解：a1a 2 a3 24 ① a18 a19 a 20 78 ②
① + ② 得：(a1a 20 ) (a 2 a19 ) (a3 a18 ) 54
1 ．对于等差数列 an ，若 n m p q 则:
等和性 an am ap aq
(2) 若 2n=p+q,则有 2an ap aq
3．若数列 an 是等差数列， Sk 是其前n项的和，k N * k d 那么 Sk ， S 2k S k ， S3k S2k 成公差为 2
a1a20a2a19a3a18 3(a1a 20 ) 54
(a1a 20 ) 18
s 20
20(a1a 20 ) 2
20 *18 2
180
二、【题型剖析】
【题型3】求等差数列的通项公式
a 例题：已知数列{an}的前n项和 s n n 2 3 求 n
解：
当 n 1 时
a1 1 而 s1 4
A.130 B.170 C.210 D.260
二、【题型剖析】
【题型1】等差数列的基本运算
a a a 等差数列{an}中，若 2 = 10， 6 = 26 ，求 14
a 解：法一 转化为求基本量 1 和 d
a a 由已知可得， 1 + d = 10 … ① 1 + 5d = 26 …②
a ②-①得：4d = 16 ∴d = 4 把d = 4 代入①得： 1 = 6
一、知识要点
[等差中项]
如果 a， A ，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等
差中项。即：
A
a
b
或
2A ab
2
等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，
-3a +2，则 a 等于（ B )
A . -1
B. 1
C .-2 D. 2
2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)
等差数列的性质
当 n2 时
a n s n s n1 (n2 3) (n 1)2 3 2n 1
因为上面的通式不适合 n 1 时
所以：
4 (n 1) a n 2n 1 (n 2)
【题型3】求等差数列的通项公式
a 练习：设等差数列{ n}的前n项和公式是 Sn 5n2 3n
求它的通项公式__a_n__1_0_n___2
解：
当
n 1 时 a1 8 ，s1 8
当 n2时
an sn sn1 (5n2 3n) 5(n 1)2 3(n 1) 10n 2
所以 a n 10n 2
二、【题型剖析】
【题型4】等差数列性质的灵活应用
例题：已知等差数列{an} , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ，求a 5+ a 8
1.定义：an-an-1=d（d为常数） （n≥2）
点 2.等差数列的通项公式：
复 an=a1+(n-1)d
习 3.等差数列的通项变形公式：
an=am+（n-m）·d
4.数列{an}为等差数列，则通项公式 an=pn+q (p、q是常数),反之亦然。
例1．(06重庆卷)在数列中，若 a1 1 ，an1 an 2 则该数列的通项 an _________
解：由等差数列性质易知：
a2 + a11 = a3 + a10 = a5+ a8 ∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2（a5+ a8）=36 ∴ a5+ a8 =18
【题型4】等差数列性质的灵活应用
练习：已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9 项和S9等于 （ C ）
A.18
a a 设共有n项，即， 1 =100 ，d = 5 ， n =995
由 an a1 (n 1)d 得 995 =100 + 5（n-1） 即 n =180
S180
180(100 2
995)
98550
所以在三位正整数的集合中5的倍数有180个，它 们的和是98550
【题型2】等差数列的前n项和
∴ 26 = 10 + 4d
∴d = 4
∴a14 = a6 + 8d = 26 + 8×4 = 58
【题型1】等差数列的基本运算
练习：等差数列{an}中，已知a 1=
1 3
，a 2 + a 5 =4
a n = 33，则n是（ C ）
A.48
B.49
C.50 D.51
解： a 2 a 5 4 2a15d 4
a a ∴ 14 = 1 + 13d = 6 + 13×4 = 58
二、【题型剖析】
【题型1】等差数列的基本运算
a a a 等差数列{an}中，若 2 = 10， 6 = 26 ，求 14
利用性质an am (n m)d
解：法二、
a a 由性质， an am (n m)d 得： 6 = 2 + 4d
练习１：
数列{an}的通项公式是an 2n 5,则此数列的 首项是 _____, 公差为____;
等差数列的前n项和公式:
Sn
n(a1 an ) 2
或
Sn
na1
n(n 1)d 2
注意：两n个, a公1 , 式d中,都a三n表个明要求 S必n 须已知
在等差数列中,已知a2 12, a5 27, 求d及sn .
B.27
C.36
D.4 5
解： a1a9 a 2 a8 8
s9
9(a1a9 ) 2
9*8 2
36
二、【题型剖析】
【题型5】等差数列的判定与证明
例题：已知数列 { an } 是等差数列,bn= 3an + 4，证明 数列 { bn } 是等差数列。
的等Leabharlann Baidu数列.。
每K项的和成等差数列
例3.在等差数列{an}中: (1) 若a1 a2 a3 a4 a5 20,则a3 _____;
(2) 若前12项和S12 21,则a2 a5 a8 a11 ___;
(3) 等差数列{an }的前m项和为30，前2m项和
为100，则它的前3m项和为（ ）
把
a1
1 3
代入上式得
d2 3
a n a1(n 1)d
解得： n 50
1 2 (n 1) 33 33
【题型2】等差数列的前n项和
例题：在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍 数？求它们的和。
解：在三位正整数的集合里，5的倍数中最小是 100，然后是105、110、115…即它们组成一个以 100为首项，5为公差的等差数列，最大的是995
a 练习：等差数列{ n}中, a1 a2 a3 24, a18 a19 a20 78
则此数列前20项的和等于（ B ）
A.160
B.180
C.200
D.220
解：a1a 2 a3 24 ① a18 a19 a 20 78 ②
① + ② 得：(a1a 20 ) (a 2 a19 ) (a3 a18 ) 54
1 ．对于等差数列 an ，若 n m p q 则:
等和性 an am ap aq
(2) 若 2n=p+q,则有 2an ap aq
3．若数列 an 是等差数列， Sk 是其前n项的和，k N * k d 那么 Sk ， S 2k S k ， S3k S2k 成公差为 2
a1a20a2a19a3a18 3(a1a 20 ) 54
(a1a 20 ) 18
s 20
20(a1a 20 ) 2
20 *18 2
180
二、【题型剖析】
【题型3】求等差数列的通项公式
a 例题：已知数列{an}的前n项和 s n n 2 3 求 n
解：
当 n 1 时
a1 1 而 s1 4
A.130 B.170 C.210 D.260
二、【题型剖析】
【题型1】等差数列的基本运算
a a a 等差数列{an}中，若 2 = 10， 6 = 26 ，求 14
a 解：法一 转化为求基本量 1 和 d
a a 由已知可得， 1 + d = 10 … ① 1 + 5d = 26 …②
a ②-①得：4d = 16 ∴d = 4 把d = 4 代入①得： 1 = 6
一、知识要点
[等差中项]
如果 a， A ，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等
差中项。即：
A
a
b
或
2A ab
2
等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，
-3a +2，则 a 等于（ B )
A . -1
B. 1
C .-2 D. 2
2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)
等差数列的性质
当 n2 时
a n s n s n1 (n2 3) (n 1)2 3 2n 1
因为上面的通式不适合 n 1 时
所以：
4 (n 1) a n 2n 1 (n 2)
【题型3】求等差数列的通项公式
a 练习：设等差数列{ n}的前n项和公式是 Sn 5n2 3n
求它的通项公式__a_n__1_0_n___2
解：
当
n 1 时 a1 8 ，s1 8
当 n2时
an sn sn1 (5n2 3n) 5(n 1)2 3(n 1) 10n 2
所以 a n 10n 2
二、【题型剖析】
【题型4】等差数列性质的灵活应用
例题：已知等差数列{an} , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ，求a 5+ a 8