圆形磁场一个有用结论

在教学过程中发现有这样的问题：一个圆形匀强磁场区域,带电粒子从圆周

上一点沿垂直于磁场方向射入磁场,若计算得粒子的轨道半径与圆形磁场区域半径相同,则这些粒子将沿什么方向射出磁场 如图1所示，一带电粒子以任意角 从圆周上一点O 沿垂直于磁场方向射入磁场，若粒子的轨道半径与圆形磁场区域半径相同时，轨道圆弧与磁场区域圆弧对应的两条半径线组成平行四边形（即四边形OO 1AO 2为平行四边形），带电粒子的速度方向总垂直于半径，因此带电粒子射出磁场时速度方向都平行于射入点磁场区域圆的切线（即平行于y 轴），所以所有带电粒子都以平行于入射点磁场区域圆的切线的方向成平行线射出磁场。

结论：圆形匀强磁场区域，带电粒子从圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的轨道半径与圆形磁场区域半径相同时，所有带电粒子都以平行于入射点磁场区域圆的切线的方向成平行线射出磁场；相反，若带电粒子以平行的速度射入磁场，这些带电粒子在磁场中做圆周运动将会聚通过平行速度方向的圆形区域切线与圆的切点。

例1 如图2所示，真空中有（r ，0）为圆心，半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，在y=r 的虚线上方足够大的范围内，有方向水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E ，从O 点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内，设质子在磁场中的偏转半径也为r ，已知质子的电量为e ，质量为m ，不计重力及阻力的作用，求（1）质子射入磁场时的速度大小。

（2）速度方向沿x 轴正方向射入磁场的质子， 到达y 轴所需的时间。

（3）速度方向与x 轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的质子，到达y 轴的位置坐标。

解：（1）质子射入磁场后做匀速圆周运动，有

O

O

r mv vB 2

e =

①

可得 m eB v r

=

②

（2）质子沿x 轴正向射入磁场后经1/4圆弧后以速度v 垂直于电场方向进入电场，在磁场中运动的时间

eB

m

T t 241π=

=

③

进入电场后做抛物线运动，沿电场方向运动r 后到达y 轴，因此有

eE mr

a r 22t 2==

④

时间为 eE mr

eB

m

t t t 2221+

=

+=π

⑤

（3）质子在磁场中转过120°角后从P 点垂直电场线进入电场，如图3所示。 P 点距y 轴的距离

r r r 5.130sin x 1=+=ο

⑥

因此可得质子从进入电场至到达y 轴所需时间

为 eE

rm

t 32=

⑦ 质子在电场中沿y 轴方向做匀速直线运动，因此有

mE er

Br

vt y 3==

⑧

质子到达y 轴的位置坐标为mE er

Br

r y r y 3'+=+=

例2 如图4所示的直角坐标系中,在直线x= -2L 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场,其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向,x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向.在电场左边界上A(-2L 0,-L 0)到C(-2L 0,0)区域内,连续分布着电荷量为+q 、质量为m 的粒子.从某时刻起由A 点到C 点间的粒子,依次连续以相同的速度v 0沿x 轴正方向射入电场.若从A 点射入的粒子恰好从y 轴上的A '(0,L 0)， 沿x 轴正方向射出电场,其轨迹如图中虚线所示.不计粒子的重力

O

及粒子间的相互作用.求： (1)求匀强电场的电场强度E; (2)求在AC 间还有哪些位置的粒子,通过电场后也能沿x 轴正方向运动 (3)若以直线x=2L 0上的某点为圆心的圆形区域内,分布着垂直于xoy

平面向里的匀强磁场,使沿x 轴正方向射出电场的粒子,经磁场偏转后,都能通过直线x=2L 0与圆形磁场边界的一个交点处,而便于被收集,则磁场区域的最小半径是多大相应的磁感应强度B 是多大

解:(1)从A 点射出的粒子,沿x 轴方向一直做匀速直线运动,沿y 轴方向先匀加速,后匀减速到零,根据运动轨迹和对称性可得

x 轴方向 t 00v L 2= ① y 轴方向 20)2

(2

1t a L = ② m

qE

a =

③ 联立①、②、③,解得 0

2

02qL mv E =

(2)粒子的运动具有周期性.设从距离C 点y 处射出的粒子通过电场后将沿x 轴正方向射出,粒子第一次到达x 轴用时为t 1,则有 t v x 01= ④ 2

1121t m

qE y •

= ⑤ ),3,2,1(2210Λ==n x n L ⑥ 联立④、⑤、⑥,解得满足条件的粒子纵坐标为 )3,2,1(102

⋯=-=n L n y

(3)根据上式可知:

当n=1时,粒子射出时纵坐标为y 1=L 0

当n=2时,粒子射出时纵坐标为024

1

L y -=

当n ≥3时,沿x 轴正方向射出的粒子分布在y 1到y 2之间.

C 图4

这些粒子从不同位置以同样的方向进入圆形磁场,最后会聚到一点,从图5中可知,粒子的运动半径与磁场圆的半径应相等.

由y 1到y 2之间的距离为

0214

5

y L L y =-=

磁场的最小半径为08

5

2L L R ==

由R

v m B qv 2

0=得 0058qL mv B =

图5