第二章 射影变换-第一节 交比(下)课件ppt课件

§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的p∈S(p), 其坐标可表示为
a b
R.
称a, b为基线, λ为参数. 注1 这里a, b, p均表示直线的齐次坐标. λ=0 ↔ a; λ=1 ↔ a+b; λ=∞ ↔ b
2
称P1, P2为基点对， P3, P4为分点对. 定理2.1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则 (1 3 )(2 4 ) (2.2) (P P , P P ) . 1 2 3 4 (2 3 )(1 4 ) 2、性质 3、特殊情况 4、调和比 5、交比的计算
a2 P 1 c2 a3 a3 , c3 c3 b2 b3 b3 , P2 c c ,c 2 3 3 P P4 ( P 3 (P 1 1P 2 ), 1 2 P 2 ). a1 a1 , c1 c1 a2 c2 b1 b1 b2 , , c1 c1 c2
称p1, p2为基线偶， p3, p4为分线偶. 则
定理2.5 设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4).
(1 3 )(2 4 ) ( p1 p2 , p3 p4 ) . (2 3 )(1 4 )
(2.6)
注
上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构.
§ 2.1 交比
二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量 定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截 于四点Pi(i=1,2,3,4). 则 ( p1 p2 , p3 p4 ) ( P 1P 2, P 3P 4 ). 证明 设直线p1, p2, p3, p4的齐次坐标分别为a, b, a+λ1b, a+λ2b, 直线s的齐次坐标为c. 由Thm.1.6'可以求出点Pi的坐标分别为
推论2.5 设Pi为点列l(P) 中四点, Pi与不在l上的定点S连线依 次为pi (i=1,2,3,4). 则 (P 1P 2, P 3P 4 ) ( p1 p2 , p3 p4 ).
证明 与定理2.6完全对偶. 由定理2.6和推论2.5, 立即可得下述重要结论 定理2.7 交比为射影不变量.
而 于是
1 ( p1 p2 , p3 p4 ) (P 1P 2, P 3P 4 ). 2
§ 2.1 交比
二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 则 2、定义 3、交比为射影不变量
பைடு நூலகம்
定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4).
( p1 p2 , p3 p4 ) ( P 1P 2, P 3P 4 ).
线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形 注2 式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比. 课件作者：南京师大数科院周兴和
§ 2.1 交比
二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示
2、定义 定义2.3 设p1, p2, p3, p4为线束S(p)中四直线，且p1≠p2，其齐 次坐标依次为a, b, a+λ1b, a+λ2b. 则记(p1p2, p3p4)表示这四直线构 成的一个交比. 定义为 ( p1 p2 , p3 p4 ) 1 . (2.5) 2
§ 2.1 交比
交比 — 最根本的射影不变量
一、点列中四点的交比
1、定义 定义2.1. 设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P1 ≠ P2，其齐次 坐标依次为a, b, a+λ1b, a+ λ2b. 则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的 一个交比. 定义为 1 (P P , P P ) . 1 2 3 4 (2.1)
注 由定理2.7, 关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过 对偶的方式(或者截与连的方式)相互移植、相互转化.
§ 2.1 交比
二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 4、直线交比的初等几何意义 (1). 斜率表示 如图, 在以S(x0,y0)为束心的线束中，取 定二直线x=x0, y=y0. 则直线的(负)斜率k可以 作为参数来表示线束. 由定理2.5，可得 定理2.8 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有
§ 2.1 交比
二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 5、直线交比的计算 (1). 由已知条件求交比. 方法一. 与点的交比计算完全对偶. 方法二. 以一条特殊直线截已知线束, 转 化为点的交比计算. 技巧是, 取合适直线, 使 截点坐标简单, 易于计算. (2). 由已知交比和其中三直线坐标, 求第四条直线. 与点列的交比对偶, 有定理2.10和推论2.7(见教材P.52-53). 2、定义 3、交比为射影不变量
(k1 k3 )(k2 k4 ) ( p1 p2 , p3 p4 ) . (k2 k3 )(k1 k4 )
3、交比为射影不变量
注 容易看出，斜率参数
k R. (k tan ).
§ 2.1 交比
(1). 斜率表示 定理2.8 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有 (k1 k3 )(k2 k4 ) ( p1 p2 , p3 p4 ) . (k2 k3 )(k1 k4 ) (2). 三角函数表示 设直线pi与x轴正向的夹角为αi (i=1,2,3,4). 则将ki=tanαi代入 上式，并利用三角恒等式进行化简，可得 定理2.9 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有 sin( p1 p3 ) sin( p2 p4 ) ( p1 p2 , p3 p4 ) . sin( p2 p3 ) sin( p1 p4 ) 其中(pi pj)表示由pi到pj的夹角. 推论2.6 设pi (i=1,2,3,4)为通常线束中四直线. 则p3, p4为p1, p2 夹角的内外平分线(p1p2, p3p4)=–1, 且p3⊥p4 . 证明略. 本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系.