谈最大子段和问题的三种解题策略

最大子段和问题的不同策略分析与实现
最大子段和问题描述：给定由N 个整数（可能为负整数）组成的序列a 1，a 2，…，a n ，求该序列形如∑=j
i k k a 的子段和的最大值。

当所有整数均为负整数时定义其最大子段
和为0。

例如当（a 1，a 2，…，a 6）=（-2，11，-4，13，-5，-2）时最大子段和为20，即a 2，a 3，a 4序列为最大子段。

下面我们来探讨一下解决这个问题的三种不同策略。

一、枚举策略
这种策略是我们最容易想到的，依照最大子段和的定义，不难理解所求最大子段和为max{0，max ∑=j
i k k a (其中1≤i ≤j ≤n)}，所以我们只需枚举所有的i 和j 即可求出序列
的最大的子段和。

主要代码如下，其中a[i]表示a i 。

procedure maxsum(V AR max ：longint);
var
i,j ：integer;
thissum ：longint;
begin
max ：=0;
for i ：=1 to n do
begin
thissum ：=0;
for j ：=i to n do
begin
thissum ：=thissum+a[j];
if max<thissum then max ：=thissum;
end;
end;
end;
此算法的时间复杂度为O(n 2)。

二、分治策略
针对最大子段和这个具体问题本身结构，我们还能够从算法设计策略上对上述算法实行改进。

从问题解的结构能够看出，它适合于分治算法求解。

如果将所给的序列a 1，a 2，…，a n 分为长度相等的两段序列a 1，a 2，…，a (n div 2) 和a (n div 2+1)，a (n div 2+2)，…，a n ，分别求出这两段的最大子段和，则a 1，a 2，…，a n 的最大子段和有三种可能：
1．a 1，a 2，…，a n 的最大子段在前半段，即序列a 1，a 2，…，a n 的最大子段和与a 1，a 2，…，a (n div 2) 序列的最大子段和相等。

2．a 1，a 2，…，a n 的最大子段在后半段，即序列a 1，a 2，…，a n 的最大子段和与a (n div 2+1)，a (n div 2+2)，…，a n 序列的最大子段和相等。

3．a1，a2，…，a n的最大子段的段首元素在前半段，段尾元素在后半段，即a(n div 2)和a(n div 2+1)都在最大子段内。

对于第一和第二种情形，我们能够由递归求得，对于第三种情形，我们能够先在前半段求出以a(n div 2)为尾的最大子段和S1，再在后半段求出以a(n div 2+1)为首的最大子段和S2，则S1+S2即为第三种情形的最大子段和。

主要代码如下，其中a[i]表示a i。

procedure maxsum(x,y：integer;var max：longint);
var
center,i：integer;
s1,s2,lefts,rights,leftmax,rightmax：longint;
begin
if x=y then begin
if a[x]<0 then max：=0
else max：=a[x];
end
else begin
center：=(x+y) div 2;
maxsum(x,center,leftmax);
maxsum(center+1,y,rightmax);
s1：=0;
lefts：=0;
for i：=center downto x do
begin
lefts：=lefts+a[i];
if s1<lefts then s1：=lefts;
end;
s2：=0;
rights：=0;
for i：=center+1 to y do
begin
rights：=rights+a[i];
if s2<rights then s2：=rights;
end;
max：=s1+s2;
if max<leftmax then max：=leftmax;
if max<rightmax then max：=rightmax;
end;
end;
此种算法的时间复杂度为O(nlogn)。

三、动态规划策略
设b[j]表示以a j为尾的最大子段和，显然有当b[j-1]>0时，b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]，明显具有最优子结构和无后效性，适宜用动态规划来解决。

由此可得状态转移方程：b[j]=max{b[j-1]+a[j]，a[j]}，临界状态：如果a[1]≥0，b[1]=a[1]，否则b[1]=0，
最终所求就是。

主要代码如下，其中a[i]表示a i。

procedure maxsum(var max：longint);
var
b：array[1..30000] of longint;
i：integer;
beg
if a[1]<0 then b[1]：=0
else b[1]：=a[1];
max：=b[1];
for i：=2 to n do
begin
if b[i-1]>=0 then b[i]：=b[i-1]+a[i]
else b[i]：=a[i];
if max<b[i] then max：=b[i];
end;
end;
此算法的时间复杂度为O(n)。

同一个问题，采用了不同的策略，得到了不同的执行效率。

这就要求我们在平时的训练中，鼓励和引导学生从不同的角度或策略去分析解决问题，从而提升学生分析问题和解决问题水平。