(整理)函数的连续性63669

第四章 函数的连续性

练 习 题 第一节 连续性概念

1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续：

.)()2(;

1

)()1(x x f x

x f ==

2. 指出下列函数的间断点并说明其说明类型：

);

sgn(cos )()5(|;|sgn )()4(|];cos [|)()3(;

|

|sin )()2(;1)()1(x x f x x f x x f x x

x f x x x f ====+= ⎩⎨

⎧-=;

,

,,)()6(为无理数为有理数x x x x x f

（7）⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<-∞+=.

1,11sin )1(17,,7,71

)(x x x x x x x x f

3. 延拓下列函数, 使其在R 上连续：

x

x x f x x

x f x x x f 1

c o s

)()3(;c o s 1)()2(;

28

)()1(2

3=-=

--=

4. 证明：若f 在点0x 连续, 则2||f f 与也在点0x 连续, 又问: 若2

||f f 与在I 上连续, 那么f 在I 上是否必连续？

5. 设当).0()0(),()(0g f x g x f x ≠≡≠而时证明：f 与g 两者中至多有一个在0=x

连续.

6. 设f 为区间I 上的单调函数, 证明：若I x ∈0为f 的间断点, 则0x 必是f 的第一类间断点.

7. 设函数f 只有可去间断点, 定义 ).(lim )(y f x g x

y →=

证明g 为连续函数.

8. 设f 为R 上的单调函数, 定义 )0()(+=x f x g 证明g 在R 上每一点都右连续.

9. 举出定义在[0, 1]上分别符合下述要求的函数： (1) 只在

4

1

31,21和三点不连续的函数； (2) 只在

4

1

31,21和三点连续的函数； (3) 只在

),3,2,1(1

=n n

上间断的函数； (4) 只在0=x 右连续, 而在其他点都不连续的函数.

第二节 连续函数的性质

1．讨论复合函数g f 与f g 的连续性, 设

（1）2

1)(,sgn )(x x g x x f +== （2）(

)

x x x g x x f 2

1)(,sgn )(-== 2．设g f ,在点0x 连续, 证明：

（1）若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >； (2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥.

3．设g f ,在区间上I 上连续, 记

(){}{})(),(m in )(,)(),(m ax x g x f x G x g x f x F ==

证明F 在R 上连续.

提示：利用第一章总练习题1.

4．设f 为R 上连续函数, 常数0>c . 记

⎪⎩⎪

⎨⎧>≤-<-=.

)(,

,)(),

(,)(,)(c x f c c x f x f c x f c x F 若若若 证明F 在R 上连续

提示：{}

{})(,m in ,m ax )(x f c c x F -= 5．设⎩

⎨⎧>+≤-==0,,

0,)(,sin )(x x x x x g x x f ππ

证明：复合函数g f 在0=x 连续, 但g 在0=x 不连续.

6．设f 在),[+∞a 上连续, 且)(lim x f x +∞

→存在, 证明：f 在),[+∞a 上有界. 又问f 在

),[+∞a 上必有最大值或最小值吗？

7．若对任何充分小的f ,0>ε在],[εε-+b a 上连续, 能否由此推出f 在),(b a 内连续.

8．求极限： （1）1

121lim )2(;

tan )(lim 214

+--+-+→→

x x x x x x x x ππ

9．证明：若f 在],[b a 上连续, 且对任何],[b a x ∈, 0)(≠x f , 则f 在],[b a 上恒正或恒负.

10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.

11．试用一致连续的定义证明：若f , g 都在区间I 上一致连续, 则f +g 也在I 上一

致连续.

12．证明x x f =

)(在),0[+∞ 上一致连续.

提示：],1[]1,0[),0[+∞⋃=+∞, 利用定理4. 9和例10的结论.

13．证明：在2

)(x x f =],[b a 上一致连续, 但在),(+∞-∞上不一致连续.

14．设函数f 在区间I 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件, 即存在常数0>L , 使得对I 上任意两点x x ''',都有 .|||)()(|x x L x f x f ''-'≤''-'

证明f 在I 上一致连续.

15．证明x sin 在),(+∞-∞上一致连续.

提示：利用不等式|||sin sin |x x x x ''-'≤''-'（见第三章§1例4）.

16．设函数f 满足第6题的条件, 证明f 在),[+∞a 上一致连续.

17．设函数f 在]2,0[a 上连续, 且).2()0(a f f =证明：存在点],,0[0a x ∈使得

).()(00a x f x f +=

18．设f 为],[b a 上的增函数, 其值域为)],(),([b f a f 证明f 在],[b a 上连续. 19．设f 在],[b a 上连续, ],[,,,21b a x x x n ∈ . 证明；存在],,[b a ∈ξ 使得 )].()()([1

)(21n x f x f x f n

f +++=

ξ 20．证明x x f cos )(=在),0[+∞上一致连续. 提示：),1[]1,0[),0[+∞⋃=+∞. 在],1[+∞上成立不等式

.cos cos x x x x x x ''-'≤''-'≤''-'

第三节 初等函数的连续性