专题9 三角函数(三)

精锐教育学科教师辅导讲义

15°＝

2

求解．

：tan15°＋cot15°＝

cos15°＋

sin15°

＝

sin15°cos15°

＝

sin30°

＝

解法2：tan15°＋cot15°＝tan(45°－30°)＋

－＝

1＋tan45°tan30°

＋

tan45°－tan30°

∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π3

. （四）典型例题

1.命题方向：化简求值问题

[例1] 求下列各式的值：

(1)(1cos 280°－3cos 2

10°)1

cos20°

(2)cos 20°sin20°

²cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40° [分析] 角求值问题，应从角的关系、函数关系、运算关系上找联系，构造利用公式的条件．

[解析] (1)∵1cos 280°－3cos 210°＝1sin 210°－3cos 210°＝cos 210°－3sin 2

10°

sin 210°cos 2

10°

＝＋3

－3

sin 2

10°cos 2

10°

＝

4cos50°²cos70°14

sin 220°＝16²sin40°²sin20°

sin 2

20°＝32cos20°. ∴原式＝32.

(2)cos20°sin20°²cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40° ＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°

cos70°－2cos40°

＝

cos20°cos10°＋3sin10°cos20°

sin20°－2cos40°

＝cos20°cos10°＋3sin10°

sin20°

－2cos40°

＝2cos20°cos10°sin30°＋sin10°cos30°

sin20°－2cos40°

＝

2cos20°sin40°－2sin20°cos40°

sin20°

＝2.

[点评] 在三角函数的化简、求值、证明中，常常对条件和结论进行合理变换、转化，特别是角的变化、名称的变化、切化弦、常数代换、幂的代换、结构变化都是常用的技巧和方法． 跟踪练习1

求[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]²2sin 2

80的值．

[解析] 原式＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫2sin50°＋sin10°³cos10°＋3sin10°cos10°²2sin80°

＝(2sin50°＋2sin10°²12cos10°＋3

2

sin10°cos10°

)²2cos10°

＝22[sin50°²cos10°＋sin10°²cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22³3

2

＝ 6. [点评] 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： (1)化为特殊角的三角函数值． (2)化为正负相消的项，消去求值．

(3)化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值． (4)给值(或式)求值.

2.命题方向：条件求值

[例2] 已知sin(30°＋α)＝3

5，60°<α<150°，求cos α的值．

[分析] (1)因为30°是特殊角，所以可用和角公式展开后，设法求值． (2)观察条件中角与所求值中角之间的关系，利用和差关系，整体求解．

[解析] 方法一：∵sin(30°＋α)＝sin30°²cos α＋cos30°²sin α＝12cos α＋32sin α＝3

5，

∴cos α＋3sin α＝6

5.①

又∵sin 2

α＋cos 2

α＝1，②

∴由①得cos α＝6

5－3sin α，代入②得

100sin 2α－603sin α＋11＝0. ∴sin α＝

603±

6032

－4³100³112³100＝33±4

10

.

又∵60°<α<150°，

∴sin α>12.而sin α＝33－410<12，∴只取sin α＝33＋4

10.代入①，得

cos α＝65－3²33＋410＝3－43

10

.

方法二：把30°＋α看作整体，可求cos(30°＋α)的值． ∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°. ∵sin(30°＋α)＝35，∴cos(30°＋α)＝－4

5

.

∴sin(30°＋α)＝sin30°²cos α＋cos30°²sin α＝12cos α＋32sin α＝3

5，①

cos(30°＋α)＝cos30°²cos α－sin30°²sin α＝

32cos α－12sin α＝－45

.②

由①②，得cos α＝3－43

10

.

方法三：∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°. ∵sin(30°＋α)＝35，∴cos(30°＋α)＝－4

5.

∴cos α＝cos[(30°＋α)－30°]

＝cos(30°＋α)²cos30°＋sin(30°＋α)²sin30°＝－45³32＋35³12＝3－43

10

.

[点评] (1)方法一想法简单，但计算麻烦，且需判断sin α的范围，从而得cos α值．这不仅麻烦，而且容易漏掉，导致错误．方法二注意到了把30°＋α看作整体，先求出cos(30°＋α)＝－4

5，再将两式展开，解方程组即

可．比方法一大大简化．而方法三注意到了角之间的关系，α＝(30°＋α)－30°，从而快捷地求出cos α的值，计算简便但技巧性较强，有一定思维难度．

(2)方法一、方法二都体现了方程思想，方法三体现了变换思想．

跟踪练习2

(2011²襄樊)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π

2.

(1)求tan2α的值； (2)求角β.

[解析] (1)由cos α＝17，0<α<π

2，得

sin α＝1－cos 2

α＝1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫172＝

437. ∴tan α＝sin α

cos α＝4 3.

于是tan2α＝

2tan α1－tan 2

α＝2³43

1－3

2

＝－83

47

. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π

2.

又∵cos(α－β)＝13

14，

∴sin(α－β)＝1－cos

2

α－β＝

1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝

3314

. 由β＝α－(α－β)得，

cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17³1314＋437³3314＝1

2.

∴β＝π

3

.