《高等代数》知识点梳理

高等代数知识点梳理

第四章 矩阵

一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念

（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表

sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。 （2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对

m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。

（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。 2、矩阵的运算

（1）矩阵的加法：

++++= +

sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 111111111

1111111。

运算规律：

①A B B A +=+

②)()(C B A C B A ++=++

③A O A =+ ④O A A =−+)(

（2）数与矩阵的乘法：

= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 1

1111111

运算规律：

①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(

③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(

（3）矩阵的乘法：

= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 1

11111111111其中

nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。

运算规律：

①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==

一般情况，

①BA AB ≠

②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A

（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵

=ns n s a a a a A 1

111'

运算规律：

①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+

③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =

（5）方阵的行列式：设方阵1111

n n nn a a A a a

= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。 运算规律：

①|||'|A A =

②||||A k kA n

=

③||||||||BA B A AB ==

这里A ，B 均为n 级方阵。 二、矩阵的逆 1、基本概念

（1）矩阵可逆的定义：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是单位矩阵。

（2）伴随矩阵：设ij A 是矩阵

=nn n n a a a a A 1

111中元素ij a 的代数余子式，矩阵

=nn n

n A A A A A 1111*称为A 的伴随矩阵。

1、基本性质

（1）矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化（0||≠A ），而|

|*

1

A A A =−

（2）如果矩阵A ，B 可逆，那么'

A 与A

B 也可逆，且)'()'(11−−=A A ，111)(−−−=A B AB 。 （3）设A 是n s ×矩阵，如果P 是s s ×可逆矩阵，Q 是n n ×可逆矩阵，那么

)()()(AQ rank PA rank A rank ==

三、矩阵分块

对于两个有相同分块的准对角矩阵 =l A A A 001 ，

=l B B B 001

如果它们相

应的分块是同级的，则

（1）

=l l B A B A AB 001

1 ；

（2）

++=+l l B A B A B A 001

1 ；

（3）||||||||21l A A A A =；

（4）A 可逆的充要条件是l A A A ,,,21 可逆，且此时，

=−−−1111

00l A A A

。 四、初等变换与初等矩阵 1、基本概念

（1）初等变换：初等行列变换称为初等变换所得到的矩阵。 ①用一个非零的数k 乘矩阵的第i 行（列）记作)(k c k r i i ×× ②互换矩阵中i ，j 两行（列）的位置，记作)(j i j i c c r r ↔↔

③将第i 行（列）的k 倍加到第j 行（列）上，记作)(j i i j kc c kr r ++称为矩阵的三种初等行（列）矩阵。

（2）初等方阵：单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。 2、基本性质

（1）对一个n s ×矩阵A 作一次初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ×初等矩阵；对A 作一次初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ×初等矩阵。

（2）任意一个n s ×矩阵A 都与一形式为100001000

01000000

000

的等价，它称为矩阵A 的标准型，主对角线上1的个数等于A 的秩。

（3）n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。 （4）两个n s ×矩阵A ，B 等价的充分必要条件是，存在可逆的s 级矩阵P 与可逆的n 级矩阵Q ，使PAQ B =。 3、用初等变换求逆矩阵的方法

把n 级矩阵A ，E 这两个n n ×矩阵凑在一起，得到一个n n 2×矩阵)(AE ，用初等行变换把它的左边一半化成E ，这时，右边的一半就是1

−A 。

第五章 二次型

1、二次型及其矩阵表示

（1）二次型：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式

n

n nn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f ++++++++= 2222

22112112211121222),,,(称为数域P 上的一个n 元二次型。

（2）二次型矩阵：设),,,(21n x x x f 是数域P 上的n 元二次型，),,,(21n x x x f 可写成矩阵形式AX X x x x f n '),,,(21= 。其中)',,,(21n x x x X =，n n ij a A ×=)(，A A ='。A 称为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。秩（A ）称为二次型),,,(21n x x x f 的秩。