【2021高考数学】概率与统计热点问题

概率与统计热点问题

三年真题考情

核心热点真题印证核心素养

统计图表2019·Ⅱ，19；2018·Ⅰ，19；

2017·Ⅲ，18；2016·Ⅰ，19

数据分析

变量间的相关关系2018·Ⅱ，18；2017·Ⅰ，19数据分析、直观想象

独立性检验2019·Ⅰ，17；2018·Ⅲ，18；

2017·Ⅱ，19

数据分析

回归分析2016·Ⅲ，18直观想象、数据分析

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热点聚焦突破

教材链接高考——频率分布直方图

[教材探究](引自人教A版必修3P72频率分布直方图)在调查了100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数的估计值是2.25 t(最高的矩形的中点)(如图)，它告诉我们，该市的月均用水量为2.25 t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们多.

多少

图

那么，如何从频率分布直方图中估计中位数呢？在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体

大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面

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积应该相等，由此可以估计中位数的值.图中的虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，其左边的直方图的面积代表着50个单位，右边的直方图也是50个单位.虚线处的数据值为2.02.同样地，可以从频率分布直方图中估计平均数.平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.由图估计可知，居民月用水量的平均数的估计值是2.02 t.

[试题评析] 统计的基本思想是由样本估计总体，根据频率分布直方图能推出样本的数字特征，进而估计总体的数字特征，从而作出统计推断.

【教材拓展】德化瓷器是泉州的一张名片，已知瓷器产品T的质量采用综合指标值M进行衡量，M∈[8，10]为一等品；M∈[4，8)为二等品；M∈[0，4)为三等品.某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选

.

一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到下面的频率分布直方图

(1)估计该新型窑炉烧制的产品T为二等品的概率；

(2)根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率(某等次产品销量与其对应产量的比值)及单件售价情况如下：

一等品二等品三等品

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.已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件：

①综合指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不小于6；

②单件平均利润不低于4元.

若该新型窑炉烧制产品T的成本为10元/件，月产量为2 000件，在销售方案不变的情况下，根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件. 解(1)记A为事件“该新型窑炉烧制的产品T为二等品”.

由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T为二等品的频率为(0.11＋0.16)×2＝0.54，

故该新型窑炉烧制的产品T为二等品的概率估计值为0.54.

(2)①先分析该窑炉烧制出的产品T的综合指标值的平均数：

由频率分布直方图可知，综合指标值的平均数

x－＝(1×0.01＋3×0.04＋5×0.11＋7×0.16＋9×0.18)×2＝6.84.

该窑炉烧制出的产品T的综合指标值的平均数的估计值6.84＞6，

故满足认购条件①.

②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：

由频率分布直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1.

故2 000件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为720，1 080，200.

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