第五章 杆件的轴向拉伸与压缩

c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
工程力学 均匀材料、第均五匀章变形杆，件内力的当轴然向均匀拉分伸布与。压缩
2. 拉伸应力： P
N(x)
N(x)
A( x)
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力：
危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
B
YA

SB
FC
③
求VBD
的最小值：V

ALBD

Ah / sin

2FL
[ ] sin2
;
45o时,
Vmin

2FL
[ ]
工程力学 §第5-五4 章轴杆向件拉的伸轴与向压拉缩伸时与的压变缩形
一、拉伸与压缩杆的变形及应变
变形特征：
拉伸 ——轴向伸长，横向缩小； 压缩 ——轴向缩短，横向变粗；
仍为平面，其上各点平移的纵向距离相同。
A—横截面面积
A —斜截面面积
A

A
cos

p

P A

P cos
A
cos
工程力学
第五章 杆件的轴向拉p伸与压缩cos
分解：



cos2
1 sin
2

2
a). 、 均为的函数；
讨 b). 当 00,00 max , 0
P2
x
与外法线反向，为负的正应力。
z
－剪应力(Shearing Stress) ： 平行横截面的应力。
p cos( p, x)
p sin( p, x)
工程力学 二、拉（压第）五杆章横截杆面件上的的应轴力向拉伸与压缩
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
P
材料力学-基本概念
构件按几何形状分为杆、板、壳和块体。
直杆
曲杆
板 壳
研究对象：直杆
块体
内容 种类
轴向拉伸 及 压缩
Axial Tension
剪切 Shear
扭转 Torsion
平面弯曲 Bending
组合变形
材料力学-基本概念
杆件变形的基本形式
ห้องสมุดไป่ตู้
外力特点
变形特点
工程力学 第五章 杆件的轴向拉伸与压缩
pm

lim
A0
F A

dF dA
为点的真实应力
3、应力单位： Pa N m2 或 MPa 106 Pa GPa 109 Pa
工程力学
4、应力分第量五章 杆件的轴向拉伸与压缩
y
p
—正应力(Normal Stress) ：
P1

垂直于横截面的应力。
△A

与外法线同向，为正的正应力；
Ｓ2
Ｓ2= –3F Ｓ3= 5F Ｓ4= F Ｓ4
BC
ＳFB3
CFC
D
FC
轴力图如右图
FN
2F +
FD 5F
+
F
–
3F
D FD D FD
x
工程力学 第五章 杆件的轴向拉伸与压缩
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的F， 轴力Ｓ 增量为正；
遇到向右的F ， 轴力Ｓ增量为负。
危险点：应力最大的点。
max

max(
N ( x) ) A( x)
工程力学 例2：如第例五1若章AA杆B =件AB的C =轴5向00m拉m伸2，与A压CD缩= 200mm 2，
求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力| |max。
解：
AB段：
AB

N AB AAB

20103 500106
Ｓ Ｓ>0
Ｓ Ｓ<0
三、 轴力图——用图形表示出轴力随截面位置的变化情况。
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
义 ②确定出最大轴力的数值 Ｓ
及其所在横截面的位置，
Ｐ
即确定危险截面位置，为
+
x
强度计算提供依据。
工程力学 第五章 杆件的轴向拉伸与压缩
例5-1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、 F 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。

40MPa
BC段：
BC

N BC ABC

10103 500106
20MPa
CD段：
CD

NCD ACD

10103 200106
50MPa
| |max=50MPa
三、直杆轴向拉工压程时力斜学截面上的应力 平面第假五设章仍成杆立件，的斜轴截向面拉原为伸平与面压，缩受力变形后
§5-1 轴向拉伸与压缩的概念及实例
一、概念 轴向拉伸与压缩的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴 线完全重合。
轴向拉伸与压缩的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴 随横向缩扩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
工程力学 第五章 杆件的轴向拉伸与压缩
力学模型如图
最经济的代价，为设计构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜 的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。
材料力学-基本概念
强度问题
构 件 的 抗 破 坏 能 力
材料力学-基本概念
刚度问题
构件应有足够 的抵抗变形的能 力
刚度对工件加工时的精 度问题、构件承受动载 荷时强度问题及人们心 理问题等方面都有重要 影响！
[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
解：① 轴力：S = F =25kN
②应力：
max

S A

4F πd 2

4 25103 3.14 0.0142
162MPa
③强度校核：max 162MPa 170MPa
④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
材料力学-基本概念
刚 度 和 稳 定 问 题
工 程 结 构 的 强 度 、
材料力学-基本概念
自行车结构也有强度、 刚度和稳定问题
材料力学-基本概念
试验是材料力学的研究手段之一
材料力学-基本概念
2 变形体的性质及其基本假设
一、可变形固体的性质
刚体：假设构件在外力作用下不变形。---- 理力研究对象
P
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
工程力学 第五章 杆件的轴向拉伸与压缩
二、工程实例
计算简图
桁架的支杆
工程力学 第五章 杆件的轴向拉伸与压缩
§5-2 轴向拉伸或压缩时直杆横截面上的内力
一、内力--物体内部某一部分与另一部分之间相互作用的力
构件受外力作用时，在产生变形的同时，在其内部也因各 部分之间相对位置的改变引起内力的改变，内力的变化量是外 力引起的附加内力，这种附加内力随外力的增加而增加，当达 到某一限度时，就会引起构件的破坏。 这里所研究的内力为附加内力。
纵向变形： l L1 L 横向变形： b b b1
变形体：构件在外力作用下变形。--- 材力研究对象
√ 线弹性变形
变形性质
弹性变形
Elasticity 塑性变形
Linear elasticity 非线弹性变形 Nonlinear
Plasticity elasticity
材料力学-基本概念
研究任务：使构件在外力作用下能够正常工作。
构件应具有足够的强度，以保证构件不会产生断裂或明显 的塑性变形。强度是指构件抵抗破坏（断裂或产生明显塑性 变形）的能力。 构件具有足够的刚度，以保证构件工作时的弹性变形在规 定的限度内。刚度是指构件抵抗变形的能力。 构件应具有足够的稳定性，以使构件在工作时不产生失稳 现象。失稳是指直杆从直线的平衡形式突然变为曲线的平衡 形式。稳定性是指构件保持原有平衡形态的能力。
工程力学 第五章 杆件的轴向拉伸与压缩
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的
基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力所留部分而 言是外力）。
强度不仅与轴力的大小有关，而且与横截面面积有关， 所以须用应力来度量受力程度。
工程力学
三、应力 (第Stre五ss) 章 杆件的轴向拉伸与压缩
1、概念：内力在截面上的分布集度 P1
△S
2、表达式
如左图。微面△Ａ上的内力之和 P2
△A
为△F则△Ａ上的平均应力为：
pm

F A
真实应力： △A→0时，
工程力学 第五章 杆件的轴向拉伸与压缩
例如： 截面法求Ｓ。
Ｐ
A
Ｐ
截开：
Ｐ
A
Ｐ
代替：
Ｐ
简图
Ｓ
平衡：
A
X 0 PS 0
SP
2. 轴力——轴向拉伸与压缩杆的内力，用Ｓ 表示。
工程力学 第五章 杆件的轴向拉伸与压缩
3. 轴力的正负规定:
Ｓ
Ｓ 与外法线同向,为正轴力(拉力) Ｓ
Ｓ与外法线反向,为负轴力(压力)
材料力学-基本概念
研究构件强度、刚度和稳定性时，为了计算简化，略去材 料的一些次要性质，并根据与问题有关的主要因素，对变形固 体作如下假设：
连续性假设：构件的体积内毫无间隙地充满物质。 可以对连续介质采用无穷小量的分析方法。
均匀性假设：假设构件任取一部分，不论其体积大小如何， 其机械性质完全相同。
材料力学-基本概念
为保证工程结构或机械的正常工作,构件应有足够 的能力负担起应当承受的载荷。因此因满足以下要求：
强 度：杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力 刚 度：杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。 稳定性：杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力 材料力学的任务就是在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
Ｓ１ A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力Ｓ1：设置截面如图
X 0 S1 FA FB FC FD 0
S1 5F 8F 4F F 0
S1 2F
工程力学 第五章 杆件的轴向拉伸与压缩
同理，求得AB、BC、
CD段内力分别为：
工程力学 例5-3 简第易起五重章机构杆如件图的，A轴C为向刚拉性伸梁，与吊压车缩与吊起重物总
重为F，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用
应力为[]。
L
分析：
x
A
B
V ABDLBD

F
C
ABD NB /
h
LBD h / sin D
工程力学 第五章 杆L 件的轴向拉伸与压缩
常用符号
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
max

N A



依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
max
②设计截面尺寸： ③许可载荷：
Amin

Nmax

Nmax A
工程力学 例5-2 已知第一五圆杆章受杆拉力件F的=2轴5 k向N，拉直伸径与d =压14m缩m，许用应力
构件内部各部分的性质是均匀的。
机械性质是指材料在外力作用下表现出的变形和破坏等方面 的特性。
材料力学-基本概念
各向同性假设：认为固体在各方面的机械性质完全相同。
具有这种性质的材料为各向同性材料。如玻璃，金属等。不 具有这种性质的材料为各向异性材料。如纤维织品、木材等。
小变形问题：构件的变形远远小于构件的尺寸时，则这类问 题为小变形问题。在研究这类问题的平衡和运动时，可不计 构件变形的影响，仍按变形前的原始尺寸进行分析计算。例 如：
工程力学
第五章 轴向拉伸与压缩
材料力学-基本概念
材料力学：研究物体受力后的内在表现， 即，变形规律和破坏特征。
1 材料力学的任务 2 变形体的性质及其基本假设 3 构件及杆件变形的基本形式
材料力学-基本概念
1、材料力学的任务
工程中多为梁、杆、轴结构
材料力学-基本概念
各式杆状的构件：梁、轴、柱、管。
8kN
5kN
3kN
5kN +
8kN – 3kN
工程力学 第五章 杆件的轴向拉伸与压缩
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
例如用同一材料制成粗细不同的两根杆，在相同拉力下， 两杆的轴力自然是相同的。但当拉力逐渐增大时，细杆必定先 拉断。
论
当

450 , 450

2
, 450
max


2
当 90,90 0,900 0
c). 的正负号规定:
从轴线方向转到α 角终边（截面外法线） 逆时针（+）顺时针（）
工程力学 §5-3第失五效章、杆安件全的系轴数向和拉强伸度与计压算缩
1、许用应力：对不同材料确定其允许承受的最大应力值,
x
XA A
B
YA

SB
FC
解： BD杆内力N ： 取AC为研究对象，如图
mA 0,NBD sin h ctg F x
NBD F L h cos
BD杆面积A： A NBD /
工程力学 第五章 杆L 件的轴向拉伸与压缩
x
XA A