高三数学竞赛讲义教案及练习 §18直线和圆,圆锥曲线

§18直线和圆，圆锥曲线

一．直线与圆

1,两点间的距离公式:设,则; 2,线段的定比分点坐标公式:设,点分的比为,则 , 3,直线方程的各种形式

(1),点斜式:; (2),斜截式:; (3),两点式:

(4),截距式:

;(5),一般式:不同为零); (6)参数方程:为参数,为倾斜角,表示点与之间的距离) 4,两直线的位置关系

设(或).则 (1),且(或且); (2),(或). 5,两直线的到角公式与夹角公式: (1),到角公式:到的到角为,则,();

(2),夹角公式:与的夹角为,则

,().

6,点到直线的距离:.

7,圆的方程

(1),标准方程:,其中为圆心坐标,R 为圆半径;

(2),一般方程:,其中,圆心为, 111222(,),(,)P x y P x

y 12PP =111222(,),(,)P x y P x y (,)P x y 12P P λ121x x x λλ+=+1

2

1y y y λλ

+=+(1)λ≠-00()y y k x x -=-y kx b =+11

2121

y y x x y y x x --=

--1(,0)x y

a b a b

+=≠0(,Ax By C A B ++=00cos (sin x x t t y y t α

α=+⎧⎨

=+⎩

αt (,)x y 00(,)x y 11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=111222:,:l y k x b l y k x b =+=+121221//0l l A B A B ⇔-=12210A C A C -≠12k k =12b b ≠1212120l l A A B B ⊥⇔+=121k k ⋅=-1l 2l θ2112

tan 1k k k k θ-=

+00

0180θ≤≤1l 2l θ2112

tan 1k k k k θ-=

+00

090θ≤≤000(,)P x y :0l Ax By C ++=d =222

()()x a y b R -+-=(,)a b 22

0x y Dx Ey F ++++=2240D E F +->(,)22

D E -

-

. (3),参数方程: ,其中圆心为,半径为R.

cos sin x a R y b R θ

θ=+⎧⎨=+⎩

(,)a b

三．解题思想与方法导引.

1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,参数法. 5,整体处理

例题讲解

1．在平面直角坐标系中,方程

为相异正数),所表示的曲线是（ ） A,三角形 B,正方形

C,非正方形的长方形

D,非正方形的菱形 2．平面上整点

(坐标为整数的点)到直线的距离中的最小值是（ ） C, D,

3．过抛物线的焦点F 作倾斜角为的直线,若此直线与抛物线交于A,B

两点,弦AB 的中垂线与轴交于P 点,则线段PF 的长等于（ ） A, B, D,

4．若椭圆

上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐标为（ ）

A, B, C, D,

5．过椭圆中心的弦AB,是右焦点,则的最大面积为

（ ）

A, B, C, D,

6．已知P 为双曲线上的任意一点,为焦点,若,则1(,22x y x y

a b a b

+-+=54

35

y x =

+120130

2

8(2)y x =+0

60x 1638322

13620

x y +=(-(3,(3,-22

221x y a b

+=(0)a b >>(,0)F c AFB ∆bc ab ac 2

b 22

221x y a b

-=12,F F 12F PF θ∠=12F PF S ∆=

（ ） A, B, C, D,

7．给定点,已知直线与线段PQ(包括P,Q 在内)有公共点, 则的取值范围是 .

8．过定点作直线交轴于Q 点,过Q 点作交轴于T 点, 延长TQ 至P 点,使,则P 点的轨迹方程是 .

9．已知椭圆与直线交于M,N 两点,且,(为

原点),当椭圆的离心率时,椭圆长轴长的取值范围是 .

10．已知是椭圆

的两个焦点,M 是椭圆上一点,M 到轴的距离为 ,且是和的等比中项,则的值等于 .

11．已知点A 为双曲线的左顶点,点B 和点C 在双曲线的右分支上,是

等边三角形,则的面积等于 .

12．若椭圆

()和双曲线有相同的焦点 ,P 为两条曲线的一个交点,则的值为 .

13．设椭圆

有一个内接,射线OP 与轴正向成角,直线AP,BP 的斜率 适合条件.

(1),求证:过A,B 的直线的斜率是定值;

(2),求面积的最大值.

2

cot 2b θ1sin 2ab θ22

tan 2

b a θ-22()sin a b θ+(2,3),(3,2)P Q -20ax y ++=a (,0)F a (0)a >l y QT FQ ⊥x QP TQ =22

221(0)x y a b a b

+=>>1x y +=OM ON ⊥

O 2

e ∈12,F F 22

11612

x y +=y MN MN 1MF 2MF MN 22

1x y -=ABC ∆ABC ∆221x y m n +=0m n >>22

1(0,0)x y a b a b

-=>>1,F 2F 12PF PF 22

126x y +=PAB ∆x 3

π0AP BP k k +=k PAB ∆