线性代数第三章 线性空间

组，通常称为矩阵 A 的列向量组；若对 A 按行进行
分块，即
A



1T

T 2





T m

其全体行向量构成一个含有 m 个 n 维行向量的向量
组，称为矩阵的行向量组．
并且，矩阵和含有有限个向量的有序向量组是一 一对应的．
定义5 设 ,1,2, ,s Rn， s 1． 如果存在数
k R，则
1）称向量 与 相等，记作 ，如果 与
对应的分量均相等，即 ai bi , i 1, 2, , n;
2）称向量
(a1 b1, a2 b2 , , an bn )T 为向量 与 的和，并记 ；
3）称向量
k (ka1, ka2 , , kan )T
a11 a2 2 an n ;
另外，零向量 0 是任何向量组的线性组合．
定义7 设 I :1,2 , ,s 和 II : 1, 2, , t 是两个向 量组． 如果向量组 I 中的每一个向量 i ( i 1, 2, , s )
均可以由向量组 II : 1, 2, , t 线性表出，则称向量 组 I 可以由向量组 II 线性表出．
k1, k2 , , ks R ，使得 k11 k22 kss ,
则称向量 是向量组 I :1,2, ,s 的一个线性组合， 或者说，向量 可以由向量组 I :1,2, ,s 线性表 出（或线性表示）．此时，k1, k2 , , ks 相应地被称 为组合系数或者表出系数．
在本书中，如果没有特别说明，我们涉及的向量 均指分量为实数的列向量，即列形式的实向量．
将所有 n 维实向量的全体记为 Rn，即
Rn {(a1, a2 , , an )T | ai R, i 1, 2, , n}
并将其称为 n 维向量空间． 事实上，n 维向量是解析几何中向量概念的推广．
定义2 设 (a1, a2 , , an )T , (b1, b2 , , bn )T Rn ，
为数 k 与向量 的数量乘法，也简称为数乘．
向量的加法和数量乘法通常称为向量的线性运算． 定义3 将 Rn中分量全为 0 的向量
(0, 0, , 0)
称为零向量，并且仍记为 0； 设 (a1, a2 , , an )T , (b1, b2 , , bn )T Rn ，将向量
如果向量组 I 和 II 可以相互线性表出，则称这 两个向量组等价．
显然，任何一个向量组可以由其自身线性表出．
另外，向量组之间的等价关系满足如下规律：
1）反身性： 任何向量组均与本身等价； 2）对称性： 如果向量组 I 和 II 等价，那么向量组
II 和 I 也等价； 3）传递性：如果向量组 I 和 II 等价，且向量组 II
两个向量之间成比例的关系是线性组合最简单
的情形，所谓两个向量 和 成比例，即存在数 k 使得 k ．
定义6
将 n 维向量 1 (1, 0,
2 (0, 1,
, 0)T , , 0)T ,
n (0, 0, , 1)T 称为 n 维单位向量．
任何一个 n 维向量 (a1, a2 , , an )T 可以写成 n 维单位向量 1,2, ,n 的线性组合， 即
零的数 k1, k2 ,
,
k
，使得
s
k11 k22
kss 0.
因此，线性无关的定义也可以叙述为：
和 III 也等价，那么向量组 I 和 III 等 价．
定义8 给定一个向量组 I :1,2, ,s，如果存在
不全为零的数 k1, k2 , , ks，使得
k11 k22 kss 0,
则称向量组 I 是线性相关的；否则，称向量组是线 性无关的．
线性无关也就是线性不相关，即不存在不全为
例如，将 s 个向量1,2, ,s 所组成的向量组记成 I， 即 I {1,2, ,s}．通常也将集合的大括号去掉，写 成向量组 I :1,2 , ,s，或向量组 1,2 , ,s ．
对于一个 m×n 矩阵 A，按列进行分块，即
A 1, 2, , n
其全体列向量构成一个含有 n 个 m 维列向量的向量
(1) (a1, a2 , , an )T
称为向量 的负向量，记为 ； 并且，定义向量 与 的减法为 ( ).
容易验证，向量的加法和数量乘法满足下面8条性质：
1）加法交换律： ；
2）加法结合律：( ) ( ) ；
3）对于任意的 Rn，均有 0 ；
4）对于任意的 Rn，均存在负向量 ，使得
5） 1 ；
( ) 0;
6）数乘结合律：k(l) (kl) ；
7）(k l) k l；
8）k( ) k k ．
二、n 维向量的线性相关性 定义4 将若干个维数相同的向量所组成的集合称为 向量组； 将由向量组的一部分向量组成的向量称为复向量．
n 维向量可以写成一行形式 T (a1, a2 ,
a1
也可以一列的形式



a2


(a1, a2 ,
, an )T.

an

, an ),
按照上一章的约定，通常用黑体希腊字母 , ,
表示列向量，而用符号 T , T , 表示行向量．
第三章 线性空间
第一节 n 维向量的线性相关性
一、n 维向量
定义1 由 n 个数 a1, a2 , , an 所组成的有序数组
称为 n 维向量，或简称为向量．其中 n 称为向量的
维数，第 i（ i 1, 2, , n ）个数 ai 称为 n 维向量
的第 i 个分量， 并且把 n 个分量均为实数的向量称