数学：第16章 分式 小结与复习学案(人教版八年级下)

课题：16分式小结与复习

年级：八年级 备课人：李敏

学习目标：了解本章知识要点、巩固本章知识点的应用，并综合应用知识点解决问题。

学习重点：分式的概念、运算及分式方程的应用。

学习难点 ：分式方程的应用。

学习过程 ：

一、知识点复习：

1. 分式的概念

（1）如果 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子A B

叫做分式。 （2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件：

分式的分母不能为 0，即A B

中， B ≠ 0 时，分式有意义。 3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于A B ，即00

A B =⎧⎨≠⎩时，A B = 0 . 4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。

A A M

B B M ⋅=⋅, A A M B B M

÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分

（1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母;

（3）通分后的各分式的分母相同;

（4）通分后的各分式分别与原来的分式相等.

6. 分式通分的步骤

（1）确定最简公分母

①取各分母系数的最小公倍数。

②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。

③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。

（2）将各分式化成相同分母的分式。

7. 分式的约分

（1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。

（3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。

分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。用式子表示为：a a a b b b

-==--；a a a a b b b b

---=-==-- 9. 分式的乘除法则

乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

a c

b d ⋅= a

c b d

÷= 10. 分式的乘方 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即n

a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭= 11. 分式的加减

（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 a b c c ±= a c b d

±=()()---±---= 12. 分式的混合运算原则

（1）先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。

（2）同级运算，按运算顺序进行。

（3）运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律。

（4）结果化为最简分式或整式。

13. 整数指数幂(m,n 为整数)

(1) m n a a ⋅= （2）()n m a = （3）()n

ab = ，（4）m n a a ÷= （a ） （5）n a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭= (6)零指数幂的性质： 0a = ( )，

负指数幂的性质：n a - = ( )

引入负整数指数幂后，正整数指数幂的运算法则对负整数指数幂一样适

14. 分式方程

定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。

整 式 方 程 ， 如 3x +3 = 4 x -2

分 式 方 程 , 如

12123

x x =+-

15.解分式方程方法

分式方程——————整式方程—————解出值——————得出方程的解

16. 列分式方程解应用题

(1)审——仔细审题，找出等量关系;

(2)设——合理设未知数;

(3)列——根据等量关系列出方程(组);

(4)解——解出方程(组);

(5)验答——检验写答案．

二、考点训练：

考点 1. 分式的概念和性质

例 1（1）已知分式

11x x -+ 的值是零，那么 x 的值是（ ）A.-1 B.0 C.1 D.±１ （2）当 x________时，分式11

x - 没有意义． 例 2 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）

A 、0.20.2a b a b ++=22a b a b ++

B 、11x x x y x y +--=--

C 、a b a b a b a b +-=-+

D 、1212x y x y -

+ =22x y x y -+考点 2：分式的化简与计算 ：

例 3 计算24111a a a a

++--的结果是________． 例 4 计算2224222a a a a a a ⎛⎫⋅- ⎪+--⎝⎭

例 5 化简11x x x x -⎛⎫÷- ⎪⎝

⎭ 考点 3：分式条件求值 ：

例 6 先化简，再求值：22333x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中 x =5 + 1

例 7 先化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷

⎪+--⎝⎭

，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值． 考点 4：可化为一元一次方程的分式方程 ：

例 8 解方程：

21133x x x

-=---

例 9 某市今年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 25％，小明家去年 12 月 份的水费是 18 元，而今年 5 月份的水费是 36 元．已知小明家今年 5 月份的用水量比去年 12 月份多 6 立方米，求该市今年居民用水的价格．

三、自我检测 1. 填空题.（1） x ＝ 时，分式211x x -+的值为零；(2) x ＝ 时，分式2211

x x -+的值为零; （3）x= 时,分式

225x x ++ 的值为正数; (4) ()22

a b +，22a a b

-最简公分母是 2.计算.(1) 222249232x y xm ym x y xy -+÷ (2) ()()

3221121y y y y -÷-+- (3) ()

22226993671025x x x x x x x x x -+-+÷⋅---+- (4) 22212212a a a a a a a --+÷-+- (5)2233a b a b a b a a b a

a ⎡+⎤-⎛⎫---÷ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ (6) 222321a

b a b a ab b ab a ab a b ⎛⎫-⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭ 3. 解方程:(1)

23222x x x -=+- (2) 2111x x x +=-+

4.我市政公司决定将一总长为 1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两 队合做需 12 天完成此项工程；若甲队先做了 8 天后，剩下的由乙队单独做还需 18 天才能完 工．问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又已知甲队每施工一天需要费用 2 万元， 乙队每施工一天需要费用 1 万元，要使完成该工程所需费用不超过 35 万元，则乙工程队至 少要施工多少天？