解题方法之必要条件解题

解 假设 a ， b， c 存在，由①知抛物线的对称轴为
b 4ac b 2 1 ， 0， 2a 4ac 即 b 2a ， b 2 4ac ，从而 a c ．由②知对 x R ， 1 都有 0 f ( x) x ( x 1) 2 恒成立的必要条件是 0 2
2
例 3 若函数 f ( x) ( x a)3x 2 a ( x a)38 x 3a 为 偶函数，则所有实数 a 的取值构成的集合为 ． 解 f ( x) 为 R 上的偶函数的必要条件是 f (a)
f (a ) ，即 2a 38 2 a 2a 3a 2 a ，解得 a 0 ， a 5 ， a 2 ．检验：当 a 0 时， f (1) 0 ， f (1) 0 ，故 f ( x) x 3x 2 x 38 x 不是偶函数．当 a 5 或 a 2
3 利用必要条件缩小参数范围，方便讨论 不等式恒成立求参数取值范围问题，是高考的 热点问题．在高考中，常以压轴题目出现，利用分 离变量法往往不易求得新函数最值，故主要考查分 类讨论思想，难度很大，利用必要条件缩小参数的 取值范围，可简化讨论，提高解题效率． 例 6 （2011 年高考浙江卷·文 21）设函数 f ( x)
f (0) 2 ， 解 x [0 ， 3] ， f ( x) 2 恒成立的必要条件是 f (3) 2 ， f (1) 2 ， 2 t 2 ， 得 1 t 5 ， 故 t 1 ．易知 t 1 时，符合题意． 3 t 1 ，
2 多次利用必要条件，利用交集将问题答案逼 出来 例 4 已知 t 为常数，函数 y | x 2 2 x t | 在区间
[0 ， 3] 上的最大值为 2，则 t
．
点评 利用条件②中不等式恒成立的必要条件 得到了关于 a ， ，较之利 b， c 的一个方程（隐性结论） 1 用等价条件运算量小，再者观察条件 0 f ( x) x 2 注意到取等号， 即可想到取 ( x 1) 2 左右两边的结构，
a a2 a3 n q ， a1 a2 an 1
得 sn a1 an q
q 1， na1 ， 1 q ，q 1．
方法 8 利用合比定理 2， a a a a a 由 2 3 n +1 q ，得 2 1 3 1 a1 a2 an a1 a2 an 1 a a a a a a 即 2 1 3 2 ... n 1 n q 1 ， 1 q 1 ， an a1 a2 an an 1 a1 a a q 由合比性质有， 得 sn 1 n q 1 ， a1 a2 ... an 1 q
方法 6 待定系数法 2 由 sn sn 1 an a1q n 1 (n 2) ，设 sn xq n sn 1 a 得 x(1 q)q n 1 a1q n 1 ， 当 q 1 时， 得x 1 ， xq n 1 ， 1 q a1 n a1 n 1 a1 n 即 sn 所以数列 {sn q sn 1 q ． q } 1 q 1 q 1 q a a a 为常数数列， 其首项为 s1 1 q a1 1 q 1 ． 1 q 1 q 1 q a1 an q a1 n a1 故 sn ，得 sn ． q 1 q 1 q 1 q 方法 7 利用合比定理 1 根据等比数列的定义可知
2 2 2 f ( x) max f (e) a e ae e ， 恒成立． 令 g (a) a 2 f ( x ) f (1) e 1 min ae ， a e ，则 g (a ) 2a e 0 ，故函数 g (a ) 是增
此题最简便！取特殊值时一般选取整数值或端点值． ax 1 例 2 已知函数 f ( x) 在区间 (2 ， ) 上 x2 单调递减，求 a 的取值范围． ax 1 解 因为函数 f ( x) 在区间 (2 ， ) 上单 x2 调递减， 所以 f ( x) 0 在区间 (2 ， 又 ) 上恒成立．
2015 年第 3 期
a 1 和 1 a e 和 a e 三种情况讨论．
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例 7 （2013 年高考全国大纲卷·文 21）已知函 数 f ( x) x3 3ax 2 3x 1 ． 若 x [2 ， ) 时，f ( x) 0 ， 求 a 的取值范围．
f ( x) 2a 1 2a 1 ，所以 0 在 (2 ， ) 上恒成 ( x 2) 2 ( x 2) 2
1 1 ．检验：当 a 时， f ( x) 的值恒等 2 2 于 0，此时，函数 f ( x) 是常数函数，无单调性，不符
立，解得 a
合题意．综上 a 的取值范围是 a
2
a b c 1 ， 1 1 1 由 得 a c ，b ． 当a c ， 1． b 2a ， 4 2 4 a c
时，符合题意．故 a 的取值集合为 {5 ， 2} ． 点评 利用 f ( x) 是偶函数的必要条件： f (a)
f (a ) ，求出 a 的值．再利用充分性检验，简化解题．
1 ． 2 点评 若函数 f ( x) 在区间 I 可导，x I ， f ( x)
0 是函数 f ( x) 在区间 I 单调递减的必要不充分条
40 件．故需检验 f ( x) 不恒为 0．
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2015 年第 3 期
f (1) 1 0 ，即 1 f (1) 1 ，解得 f (1) 1 ，故 a b c
上， a 的取值范围是 [
5 ， ) ． 4 点评 利用 x [2 ， ) 时， f ( x) 0 恒成立的必
(q 1) ．
通过观察，我们发现运用初中所学的合比性质得
公式本身就是一个经典的数学问题，公式的推 导过程通常蕴含着经典的数学思想和方法，往往需 要对所涉及的数学知识进行重新组织、转换，有时 还需要多次反复，具有较强的联系性．希望此文对 读者会有所启发．
解题方法之必要条件解题
张立建 江苏省建湖高级中学（224700） 得a
3 3 ．综上 a ． 2 2 点评 此题关键是方法的选取．利用必要条件解
解决问题时，我们一般要求保持等价．但有时 等价命题比较复杂，不易求解．此时不妨研究命题 成立的必要条件，扩大问题解集的范围，再通过充 分性检验，剔除增解，得出正确结论． 1 利用必要条件得到“可能的答案”，再检验去 掉增解 例 1 （2012 年高考浙江卷·理 17）设 a R ， 若 x 0 时均有 [(a 1) x 1]( x 2 ax 1) 0 ， 则a ． 分析 思维过程：想法一：直接求导求最小值， 运算量大，基本上无法求解，且时间上不允许．想 法二：a 1 时， 问题转化为一次函数 y (a 1) x 1 与 二次函数 y x 2 ax 1 的函数值同号， 且两函数图象 1 都过 (0 ， 1) 点，数形结合易得两个图象都过点 ( a 1 ， 0) 时符合题意．此法对思维要求高，不易想到．想 法三：利用必要条件缩小 a 的取值范围，自然令 x 1 ，解得 0 x 2 ，未得到答案，再令 x 2 进一步缩 小范围，此时 (2a 3)(3 2a) 0 ，即 (2a 3) 2 0 ，解
a 2 ln x x 2 ax ， a 0 ．
（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）求所 有的实数 a ，使 e 1 f ( x) e 2 对
x [1， e] 恒成立．
点评 注意到二次函数最值只可能在区间端点 处和顶点处取得，故选取 x 0 ，， 1 3 时，利用必要条 件 f (0) 2 ， f (3) 2 ， f (1) 2 避免分类讨论． 例 5 已知二次函数 f ( x) ax 2 bx c ． 是否存在 使 f ( x) 同时满足以下条件： ①对 x R ， a， b， cR ，
且 f ( x) min 0 ， 所以 x 1 ，
பைடு நூலகம்
函数． 由 a 2 e 2 ae e 2 恒成立得 a 2 ae e 2 e 2 恒成 立， 即 g (a) g (e) 恒成立， 又因为函数 g (a) 在 [e ， e2 1] 上单调增，所以 a e ．又 e a e 2 1 ，因此 a e ． 点评 先利用必要条件缩小 a 的范围，避免分 0
x 1．
分析 本题可分类讨论，求出函数最大值，再解 方程得 t 的值，但因为含有绝对值，所以分类讨论标 准难确定，运算繁琐．因此我们不妨退而求其次， 即多次利用必要条件，以期避免分类讨论求最大值， 简化运算． 解 因函数 y | x 2 2 x t | f ( x) 在区间 [0 ， 3] 上 的最大值为 2， 对于 x [0 ， 3] ， f ( x) 2 恒成立．
f ( x 4) f (2 x) ，且值域为 [0 ， ) ；②对 x R ， 1 都有 0 f ( x) x ( x 1) 2 ．若存在，求出 a ， b， c的 2 值，若不存在，请说明理由．
( x a)(2 x a) ， x a ) ，减区间为 因为 a 0 ，所以 f ( x) 的增区间为 (0 ，
解（Ⅰ） 定义域 (0 ， ) ，f ( x)
(a ， ) ．
（Ⅱ） e 1 f ( x) e 2 对 x [1， e] 恒成立的必要 条件是 e 1 f (1) e 2 ，解得 e a e 2 1 ．故由（Ⅰ） 知 f ( x) 在 [1， e] (0 ， a] 上 单 调 递 增 ， 因 此 只 需
1 1 1 1 1 时， f ( x) x 2 x ( x 1) 2 ，其顶点为 2 4 2 4 4 1 又 f ( x) x ( x 1)2 ， 对 x R ， (1， 0) 满足条件①， 4 1 都有 0 f ( x) x ( x 1) 2 ，满足条件②，所以存在 2 a， b， c ，使 f ( x) 同时满足条件①、②． b
5 5 ．当 a 时， 4 4 x [2 ， ) ， f ( x) 3 x 2 6ax 3 3( x 2 2ax 1) 3
解 由必要条件 f (2) 0 得 a
5 1 所以 f ( x) 在 [2 ， x 1) 3( x )( x 2) 0 ， ) 2 2 是增函数．于是 x [2 ， ) 时， f ( x) f (2) 0 ．综 ( x2
2015 年第 3 期
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a2 a3 an s a q ，于是 n 1 q ， a1 a2 an 1 sn an
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得 sn
a1 a a (1 q n ) q n 1 ( s1 1 ) ，得 sn 1 (q 1) ． q 1 q 1 1 q