三角函数周期的常用求法

三角函数周期的常用求法

河南 陈长松

三角函数的周期是三角函数的一个重要性质，也是高考的热点．本文通过实例介绍求三角函数周期的几种常用方法，供参考． 一、公式法

例1 函数)2

3sin(

x y -=π

的最小正周期是 （ ）

Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ42

12=-=

T ，故选Ｄ．

评注：对于函数)s in(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y 可直接利用公式ω

π

2=

T 求得；对于

)t an(ϕω+=x A y 或)cot(ϕω+=x A y 可直接利用公式ω

π=

T 求得。

二、图像法

例２ 求下列函数的最小正周期

① x y sin = ②x y sin 解：分别作出两个函数的图像知

不是周期函数

评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决． 三、定义法

例３ 求函数x x y cos sin +=的最小正周期

解：∵ 2

cos()2

sin(ππk x k x +++

＝x x cos sin + （Z k ∈）

∴ 2

πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2

πk 中最小者是

2

π

下面证明2

π

是最小正周期

假设

2

π

不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<

π

，使得：

=+)(T x f )cos()sin(T x T x +++＝x x cos sin +对R x ∈恒成立，

令0=x ，则=+)0(T f T T cos sin +＝10cos 0sin cos sin =+=+T T ① 但<

π

，∴1cos sin >+T T ②

∴ ①与②矛盾， ∴ 假设不成立，∴2

π

是x x y cos sin +=最小正周期．

评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子)()(x f T x f =+出发，设法找出周期T 中的最小正数（须用反证法证明）．

四、转化法 例４ 求函数x x y 6

6

cos

sin +=的最小正周期

解：∵ y ＝)cos

sin

3cos

sin

3()cos (sin

4

2

2

4

3

2

2

x x x x x x +-+

＝)4cos 1(8

31)cos (sin )cos (sin 312

2

2

x x x x x --=+-

＝

x 4cos 8

385+

∴ 函数x x y 6

6

cos sin +=的最小正周期是2

4

2π

π=

=

T

评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求．这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点． 五、最小公倍数法

例５ 求函数y sin3x cos5x =+的最小整周期

解：设sin 3x 、co s 5x 的最小整周期分别为1T 、2T ， 则12T 3

π=

，22T 5

π=

，2T 1

π=

＝2π

∴y sin3x cos5x =+的最小整周期为2π

评注：设()f x 与()g x 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，1T 、2T 分别是它们的周期，且

1T ≠2T ，则()f x ±()g x 的最小整周期是1T 、2T 的最小公倍数．

分子的最小公倍数分数的最小公倍数＝

分母的最小公倍数