第四章仿射坐标与仿射平面.

A
AB AB BA (BEA) CD AE EA
∵单比是仿射不变量
∴ AB AB CD CD
推论 一直线上两线段之比是仿射不变量.
B D E D
C A C
思考2： 一般的，任意两线段长度之比，是不是仿射不变量？
定理 任意两个三角形面积之比是仿射不变量.
推论1 在仿射变换下，任何两个多边形面积之比 是仿射不变量
当点 C 与点B重合时，(ABC)不存在即∞
当点 C 为线段 AB的中点时，(ABC)= -1 则点C称为分点，A,B 两点称为基点 当点 C 趋向无穷远时，(ABC)= 1
例1 经过点A(-3, 2)和B(6, 1)两点直线被直线 x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）。
解: 设 P(x, y), AP
T2 A2
An
仿此，每一个对应点都可以这样表示。 注：1.仿射是有限回的平行射影组成的
2.判断仿射是否是透视仿射的方法： 对应点的联线是否平行
3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的
（二 ）. 两平面的平行射影与仿射对
应1：.平行射影：
如图
点A,B,C共线a，则 A, B共,线C
a
T A A T B B T C C g
高等几何
课程概 一、高等几何的内容 论
什么是射影几何？
鸟瞰下列几何学
欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数
量 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、旋转、 轴反射
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
（一）.仿射不变性
1.仿射对应保持同素性. （几何元素保留同一种类而不改变）
即点对应点，直线对应为直线. 2.保持点与直线的结合性 3.保持两直线间的平行性.（反证法）
4.平行四边形是仿射不变的图形. 思考1：菱形、正方形、梯形是仿射不变的图 形吗？
（二）.仿射不变量
1.单比： 设A,B,C为三点共线，则有向线段的比：AC
T a a
两相交平面的交线为自对应点的集合即透视轴
a C
l
B
A
A B
C
a
2.仿射： 平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射链。
二、仿射不变性与不变量
定义 仿射不变性与不变量：经过一切仿射对应不变的性质和数量
仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形. 仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质. 仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.
推论2
在仿射变换下，任何两个封闭图形的面积 之比是仿射不变量
小结
同素性、结合性、平行性
A
仿射不变性
相切性、中点、重心、对称中心
注：垂直、角平分线不具有仿射不变性
A
仿射图形
平行四边形 梯形
共线三点的简比
两平行线段之比 一直线上任两线段之比
仿射不变量： 图形面积的比
三角形面积比 多边形面积比 封闭图形面积比
C
C l
=
定理 两平行线段之比是仿射不变量.
要证: AB AB CD CD
可作DE AC, DE AC
则AE CD, AE CD
=
B
B
E
D E D
A C A C
证明:
= =
如图,作DE AC, DE AC
B
则AE CD, AE CD
E
AB AB BA (BEA) CD AE EA
PB P( 3 6 , 2 )
1 1
∵点P在直线x+3y-6=0上.
1
(ABP) 1
x+3y-6=0
定理 共线三点的单比是仿射不变量.
=
=
AA BB CC
AB AB AB BC AB BC
BC BC BC
BC
AC AC BC BC
(ABC) (ABC)
A
B
A B
BC
称为这三点的单比（简比），记作
ABC AC
BC
A
B
C
单比(ABC)等于点C分割线段AB的分割比的相反数
ABC AC AC
BC CB
ABC AC
BC
A
B
C
根据单比的定义可得出以下结论： 当点 C 在线段 AB 上时，(ABC)<0
当点 C 在线段 AB或 BA的延长线上时，(ABC)0 当点 C 与点A重合时，(ABC)=0
T2T1
仿射对应是透视仿射链或平行射影链
T1,T2, Tn2,Tn1
射 A1
B1
A2
B2
l2
A3 B3
表示透视仿射链，T表示仿
C1
D1
a1
l1
C2
D2
a2
C3
D3
a3
… …
… …
… …
An1
Bn1
Cn1
An
Bn
Cn
Dn
Dn1
an 1
an
ln 1
T A1 Tn1Tn2
T2T1 A1 Tn1Tn2
定理 任意两个三角形面积之比是仿射不变量.
证明:
分两种情形
10
特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图
S ABC
1 2
AB CC0
S ABC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
AB CC0
1.平行射影或透视仿射：
≠ ≠
若直线 a, a ， l 且l a , l a ,
a 点A,B,C,D……
,过点A,B,C,D……作直线的平行线交于
a a A, B,C, D ……，则可得直线
到直线
的一个映射。
称为平行射影或透视仿射，记为 T
D
a
l
A
B
C
A B C D
a
原象点： A,B,C,D……
第四章仿射坐标与仿射平面
• §4.1透视仿射与仿射对应 一、平行射影与仿射对应 二、仿射不变性与仿射不变量
• §4.2仿射坐标系 一、仿射变换的代数表示 二、特殊的仿射变换
§4.1透视仿射与仿射对应
一、平行射影与仿射对应
• 两直线间的平行射影与仿射对应 • 两平面的平行射影与仿射对应：
（一）.两直线间的平行射影与仿射对应
直线a上的点
映象点： A, B, C, D …… 直线上 a 的点
平行射影的方向：直线
l
记透视仿射T： T A A,T B B ………
透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射
D
a
C
l
A
B
O A B C D
a
点 O 为自对应点或二重点( 同一平面上两相交直线的公共点 )
2.仿射对应： T Tn1Tn2
仿射几何
平行射影
透视仿射变换
有限次平行射影的结果
仿射变换
仿射几何 仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影
透视变换
有限次中心射影的结果
射影变换
射影几何
研究图形的 射影变换不变性的科学
射影不变性
比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改变我们原有的几何 空间观念！