解析几何初步知识点

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．

上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．

显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．

直线的倾斜角

的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程

当直线的斜率为0°时k=0，直线的方程是y=y1

当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(二)斜截式

已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，求直线的方程

代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0) y=kx+b

上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．

当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．

(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．

当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成

对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样

(四)截距式

已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．

因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得

就是

这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代

入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x 轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．

直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，要搞清直线与二元一次方程的对应关系．

直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．

对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．

反过来，对于x、y的一次方程的一般形式

Ax+By+C=0．

(1)

其中A、B不同时为零．

(1)当B≠0时，方程(1)可化为

(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为

它表示一条与y轴平行的直线．

这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为

Ax+By+C=0

这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式

(一)特殊情况下的两直线平行与垂直

当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)斜率存在时两直线的平行与垂直

设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是********

(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；

(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；

(3)与已知直线平行的直线的设法；

(4)与已知直线垂直的直线的设法．

(一)两直线交点与方程组解的关系

设两直线的方程是

l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0．

如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组

是否有唯一解．

求曲线的方程的一般步骤是：1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求

曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；

(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．

2．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

(1)点在圆上d=r；

(2)点在圆外d＞r；

(3)点在圆内d＜r．

3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 1．点与圆的位置关系

设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：

(1)d＞r 点M在圆外；

(2)d=r 点M在圆上；

(3)d＜r 点M在圆内．

2．直线与圆的位置关系

设圆 C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，