异面直线所成的角与求法

a
b
a′
θ
α
•
o
b′
想一想？
异面直线所成的角的范围？
异面直线所成的角的范围是：（0°＜θ≤90°）
定义:直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分 别引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐 角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角（或夹角）.
问题2：由于点O可以任意选取，那么按此方法做出来的角 有多少个？它们的大小有什么关系？为什么？
在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且 SA=BC, E, F分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ B ）A)300 ( (B)450 (C)600 (D)900
S
E
A
·M
F B
·D
C
小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角， 体现了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角 求角
D1 A1 B1 C1
解：根据图像知，A1C1E或它的补角是A1C1与BD1的夹角
F1 E1
A1C1 = 2,BD1 = 3,A1E= 5 A1C12 +BD12 =A1E 2 ,则A1C1E是直角三角形 A1C1E 900
异面直线A1C1与D1B的夹角是900
D A
C
F
E
B
练习
异面直线所成的角的求法: 典例剖析
D A
D1
C B D1 C1
D1
例1：如图正方体AC1， ①求异面直线AB1和CC1所成角的大小； ②求异面直线AB1和A1D所成角的大小。
〖分析〗 1、做（或证明）异面直线的平行线 ； 2、说明哪个角就是所求角； 3、把角放到三角形中求解。 4、作答 。
A1
B1
〖分析〗 1、做（或证明）异面直线的平行线， 2、说明哪个角就是所求角， 3、把角放到三角形中求解， 4、作答 。
A1
B1
解: ①∵ CC1//BB1
∴ AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 ∵ 在△ABB1中，AB1和BB1所成的角是450 ∴ 异面直线AB1和CC1所成的角是450 。
② 在正方体A1C中，∵A1D//B1C
∴ AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角
∵ 在△AB1C中，AB1和CC1所成的角是600
∴异面直线AB1和A1D所成的角是600 。
例2、设正方体AC1的棱长为1，求异面直线A1C1与 BD1的夹角。
如图，补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体
定角一般方法有： （1）平移法（常用方法） （2）补形法
2、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
由等角定理知：如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.这样的角 有无数个，而且相等，并且与O的位置的选取无关。但 为了方便，通常将O取在其中一条线上。
注意：
（1）异面直线所成角的大小只和两条异面直线 的位置有关，而和点O的位置无关 （2）异面直线所成的角的范围是： （0°＜θ≤90°）
观察图片
注意直线与直线的位置
异面直线的概念： 不同在任一平面内的两条直线叫做异面直线（或既不平行 也不相交的直线叫做异面直线）
生 活 无 处 不 异 面
异面直线的画法
b α
a
α
a
b
β
注意：作图时，需要一个或二个平面衬托
异面直线所成的角
定义:若直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O , 分别引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角（或夹角）.
这个很 重要哦
（3）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说 这两条直线互相垂直，两条互相垂直的异面直线a，b， 记作a⊥b
说明：空间中的垂直有相交垂直和异面垂直。注意垂直不一定相交哦！
异面直线所成的角的求法: 典例剖析
DHale Waihona Puke BaiduA
D1
C B D1 C1
D1
例1：如图正方体AC1， ①求异面直线AB1和CC1所成角的大小； ②求异面直线AB1和A1D所成角的大小。