高中数学3.3.2 均匀随机数的产生

探究点2 随机模拟方法 例1 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家 去工作的时间在早上7：00～8：00 之间，问你父 亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是 多少？
法一（几何概型法） 解：设送报人到达的时间为x，父亲离开家的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点.试验的全部结果所构成 的区域面积为SΩ=1×1=1.
2．如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以
OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,
则此点取自阴影部分的概率是（ A ）
A．1 2
B．1 1 2
C．2
D．1
3.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，
使△APB的最大边是AB”发生的概率为 1 ，
则 AD = ( )
2
AB
A. 1
B. 1
C. 3
D. 7
2
4
2
4
解：选D.如图，在矩形ABCD中，分别以A，B为圆
心，AB为半径作圆交CD分别于F,E,当点P在线段EF
上运动时满足题设要求，由对称性可知E、F为CD的
四等分点，设 AB ，4则 DF 3, A，F AB 4
在直角三角形ADF中，AD AF 2 DF，2 7
N
【总结提升】
根据几何概型计算概率的公式，概率等于面 积之比，如果概率用频率近似表示，在不规则的 图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积 近似等于规则图形的面积乘频率.
1.下列说法与均匀随机数特点不符的是( D ) A.我们常用的是[0,1]内的均匀随机数 B.它是一个随机数 C.出现每一个实数是等可能的 D.是随机数的平均数
3.3.2 均匀随机数的产生
1.几何概型的定义及其特点? 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
2.几何概型的概率公式：
P(A)=
构成事件A的区域长度（面积或体积） 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）.
事件A构成的区域为 A={(x,y)|y≥x,6.5≤x≤7.5,7≤y≤8} 即图中的阴影部分，面积为
111 7 SA 1 2 2 2 8 .
P( A) SA 7 . S 8
思考 你能设计一种随机模拟的方法，近似 计算上面事件A发生的概率吗？（包括手工的 方法或用计算器、计算机的方法.）
例3 利用随机模拟方法计算图中阴影部分（y=1和
y x2 所围成的部分）的面积.
y
解：以直线x=1，x=-1，y=0，
1
y=1为边界作矩形，用随机模
拟方法计算落在抛物线区域内的
-1 0 1
x
均匀随机点的频率，则所求区
域的面积=频率×2.
用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下： （1)产生两组0～1之间的均匀随机数， a1=RAND,b=RAND; （2）经平移和伸缩变换， a=2(a1-0.5); （3）数出落在阴影内的样本点数N1,用几何概型公 式计算阴影部分的面积. 例如做1 000次试验，即N=1 000,模拟得到N1=698, 所以 S 2 N 1 1.396.
【总结提升】 对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,
找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问 题转化为几何概型问题,利用几何概型公式求解.
利用随机模拟方法可求概率问题，其实质是先求 频率，用频率近似代替概率.其关键是设计好“程序” 或者说“步骤”，并找到各数据需满足的条件.
例2 在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟
2.如何利用计算机做100次模拟试验，计算事件A发 生的频率，从而估计事件A发生的概率？
（1）在A1～A100，B1～B100产生两组[0，1]上的均 匀随机数； （2）选定D1格，键入“=A1-B1”，按Enter键，再 选定D1格，拖动至D100，则在D1～D100的数为X-Y 的值； （3）选定E1格，键入“=FREQUENCY（D1：D100， 0.5）”，统计D列中小于0.5的数的频数.
法二（随机模拟法） 我们可以做两个带有指针（分针）的圆盘，标
上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离开家 前能得到报纸的次数，则
P(A)= 父亲在离家前能得到报纸的次数 . 试验的总次数
【变式练习】 1.设X、Y为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X
表示送报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离 开家的时间，若事件A发生，则X、Y应满足什么 关系？ 7＋Y >6.5＋X，即Y>X－0.5.
【解析】由图可知需产生的两组均匀随机数所在区间为
[-1,1]与 [0,2].
5.甲、乙二人约定在0点到5点之间在某地会面，先到 者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时 刻到达是等可能的，且二人互不影响，求二人能会面 的概率. 解：以 x , y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是 0≤x≤5,0≤y≤5. 试验的全部结果构成的区域为正方形，面积为25. 二人会面的条件是|x-y|≤1,
PRB
RAND RANDI STAT DEG
ENTER
ENTER
RAND 0.052745889 STAT DEG
注意：每次结果会有不同.
(1)计算器上产生区间[0,1]上的均匀随机数的函 数是__R_A_N_D__. (2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函 数为___r_a_n_d_(____)__.
所以 AD . 7
AB 4
DE
FC
A
B
4.在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y=(
1 2
）x与
x轴,x=±1围成的部分)的面积时,需要经过伸缩变换得到
哪两个区间上的均匀随机数( B )
(A)[-1,1], [0,1]
(B) [-1,1], [0,2]
(C) [0,1], [0,2]
(D) [0,1], [0,1]
（1)产生两组0～1之间的均匀随机数， a1=RAND,b1=RAND; （2）经平移和伸缩变换， a=2(a1-0.5),b=2(b1-0.5); （3）数出落在圆内x2+y2<wenku.baidu.com的点(a,b)的个数N1， 计算 = 4（NN1 代表落在正方形中的点(a,b)的
N
个数）.
探究点3 用随机模拟的方法计算不规则图形的面积
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机， 想听电台报时，他打开收音机的时刻x是随机的， 可以是0～60之间的任何一刻，并且是等可能的. 我们称x服从[0,60]上的均匀分布，x为[0,60]上的 均匀随机数.
在前面我们已经会用计算器或计算机产生整数值 的随机数，那么能否利用计算器或计算机产生在区间 [0,1]上的均匀随机数呢？
记“二人会面”为事件A.
y
5
阴影（红色）部分的面积
P( A)
正方形的面积
4 3
25 2 1 42
=
2
=
9
.
25
25
2 1
0
y=x+1 y=x-1
12345x
计算器
产生方法
均
匀
计算机
随
机
数
随机模拟方法
的
产
生 用随机模拟的方法计
算不规则图形的面积
环境不会改变，解决之道在于改变自己.
1.了解均匀随机数的概念.(重点) 2.掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方 法. 3.会用模拟方法求简单的几何概型的概率.(重点) 4.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问 题．(难点)
探究点1 均匀随机数的产生
我们常用的是 0,1 上的均匀随机数.用计算器产
生0～1之间的均匀随机数，方法如下：
的方法估计圆周率的值．
解：豆子落在圆内的概率=
圆的面积 正方形的面积
落在圆中的豆子数
≈ 落在正方形中的豆子数 .
假设正方形的边长为2,则
圆的面积
12
正方形的面积
=
22
. 4
由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以
≈
落在圆中的豆子数 落在正方形中的豆子数
4.
用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：
用几何概型解简单试验问题的方法：
1.适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解； 2.把基本事件转化为与之对应的区域D； 3.把随机事件A转化为与之对应的区域d； 4.利用几何概型概率公式计算. 注意：基本事件是等可能的.
我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数， 还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值， 对于几何概型，我们也可以进行上述工作.