数分B第一学期期末试题(A)

数学分析期末试题(A)

一. 解下列各题（每小题6分）

1. 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(在0=x 处有极值2, 曲线)(x f y =有一拐点)4,1(-, 求d c b a ,,,的值, 并指出)0(f 是极大值还是极小值.(拐点 驻点等基本概念)

2. 求⎰⎰--→5

200

220)1(cos lim x x x x dx

e dt t x .（等价变换 求极限） 3. 设)(tan x

f y =, 222)(+-='x x

e x

f , 求0=x dx dy . 4.计算广义积分⎰-+1

02

21)3(x x xdx . 二. 解下列各题（每小题7分）

1. 求极坐标系下由方程θρ=所确定的曲线在点),(),(ππθρ= 处的法线的直角坐标方程.

2. 计算dx x

x x ⎰+-2

0cos 1sin π

. 3. 设)(x f 的二阶导函数连续, 且1cos )(lim

2

0=+→x x x f x , 求 ).0(),0(),0(f f f ''' 4. 求微分方程0)(332=+-dy y x ydx x 的通解.

三.（8分）设)(x f 有二阶连续导数, 且2)(=πf ,

5sin )]()([0=+''⎰π

xdx x f x f , 求)0(f .

四. （8分）设位于第一象限内的曲线)(x f y =上任一点),(y x M 处的切线与两坐标轴及过点M 平行于y 轴的直线所围成的梯形面积等于常数3, 且曲线经过点(1,1), 求此曲线的方程.

五. (8分)一块边长分别为m m m 5,4,3,

重为kg 500的直角三角形钢板水平放置在 地板上, 现将此钢板铅直立起, 使其m 4长 的边着地(如图), 设钢板的面密度为常数λ, 求克服重力所作的功.

六．（10分）设函数)(x y y =满足方程 0cos 2)(2)(3)(0=+++'⎰x dx x y x y x y x

, 且1)0(-=y , 求)(x y . 七. （7分）设1)(lim

0=→x

x f x , 且0)(>''x f , 证明当0≠x 时, x x f >)(. 八. (7分)设函数)(x f 在区间),0[+∞上可导, 且0)()(>'+x f x f ,

又设0)]1()([lim 0=++→x f x f x ,1)]1()([lim =-+∞→x

f x f x , 求证: (1) 函数)(x f y =在 ),0(+∞内必有零点;

(2) 函数)(x f y =在 ),0(+∞内只有一个零点.