《弹性力学》第五章 平面问题的复变函数法[严选课资]

z x
(
z
z
)
y
z
z y
z
z y
i( z
z
)
i 2 , i 2
x y z x y z
进而
2 x2
( z
)2, z
2 y 2
( z
)2 z
2
2
x 2
2
y 2
4
2
z z
令
2 4 2 P
z z
于是可将方程式
4 0
4
0 2 z2 z
(a)
变换成为
4 2 (2 ) 2 P 0
)
(z) (z) '(z)
z
z
[(z) (z)] [(z) (z)]
x
z z
(z) (z) [ ' (z) ' (z)]
z
z
i [(z) (z)] [(z) (z)]
y
z z
(z) (z) [ ' (z) ' (z)]
z
z
E
§5-1 应力函数的复变函数表示
在第二章中已经证明，在平面问题里，如
果体力是常量，就一定存在一个应力函数φ，
它是位置坐标的重调和函数，即
4 0
现在，引入复变数z= x＋iy和z＝x－iy以代替 实变数x 和y。注意
z 1,
x z 1, x
z i
y z i y
可以得到变换式
x
z
z
x z
E (u i v) 3 (z) z ' (z) (z)
2
xy
由于
x
z
z x
z
z x
( z
)
z
y
z
z y
z
z y
i( z
z
)
[(z) (z)] i [(z) (z)]
y
z z
i (z) (z) i[ ' (z) ' (z)]
z
z
i [(z) (z)] i [(z) (z)]
x
z z
i (z) (z) i[ ' (z) ' (z)]
可得 或
y
x
2i xy
2
x2
2
y2
2i
2
xy
x
i
y
2
4
2
z 2
y x 2i xy 2[z ''(z) ''(z)]
y x 2i xy 2[z ''(z) '(z)]
只要已知(z)及ψ (z)，就可以把上述公式右
边的虚部和实部分开，由虚部得出τxy，由实部得 出σy-σx。
z
z
故有
E
u y
v x
2
u y
[
(
z
)
(
z)]
(1
)
2 xy
d dy
f1( y)
2i
u [(z) (z)] (1 x
)
2 xy
d dx
f2 ( x)
2(1 ) 2 xy
d dy
f1( y)
d dx
f2 ( x)
从而得到
d f1( y) d f2 (x) dy dx
于是得到刚体位移
f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v 0＋ωx
第五章 平面问题的复变函数法
直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉及 的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一些 边界，例如椭圆形、双曲形、非同心圆等就 要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使该 类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数 方法在弹性力学中的简单应用。
第五章 平面问题的复变函数法
§5-1 应力函数的复变函数表示 §5-2 应力和位移的复变函数表示 §5-3 边界条件的复变函数表示 §5-4 多连通域内应力与位移的单值条件 §5-5 无限大多连体的情形 §5-6 含孔口的无限大板问题
将上式对 z 积分，得到
1 (z'(z) z'(z) (z))
z 2
再对z积分，得到
1 2
(z(z)
z
(z)
(z)dz
g
(z))
令
(z)dz (z)
即
(z) '(z)
则
1 (z(z) z(z) (z) g(z))
2
注意上式左边的重调和函数φ是实函数，可见该
式右边的四项一定是两两共轭，前两项已经是共 轭的，后两项也应是共轭的：
x y 2['(z) '(z)] 4Re'(z)
和
y x 2i xy 2[z ''(z) '(z)]
就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立
公式，把σx、σy 、τxy三者分开用(z)和ψ (z)
来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方
便。
二 位移分量的复变函数表示
假定为平面应力问题。由几何方程及物理方
若不计刚体位移，则有
E(u i v) 4(z) (1 )( i )
x y
由式
i 2
x y z
1 [z(z) z(z) (z) (z)]
2
得到
i 2 (z) z ' (z) '(z)
x y z
(z) z ' (z) (z)
将结果回代,并两边除以 1 得
程
E
u x
x
y
( x
y)
(1
)
y
E
v y
y
x
( x
y ) (1
) x
E 2(1
)
(
v x
u y
)
xy
可得
E
u x
2[ '
(z) '
(z)] (1
)
2
x 2
2
x
[
(
z
)
(
z
)]
(1
Байду номын сангаас
)
2
x 2
由于
并注意到 可得 同理
x
z
z x
z
z x
( z
)
z
y
z
z y
z
z y
i( z
z
由
2P 0
可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到。设 f(z)为解析函数，可令
P 1 ( f (z) f (z)) 2
由
2 4 2 P
z z
得
2 1 P 1 [1 ( f (z) f (z))]
z z 4 4 2
令
f (z) 4'(z)
则
2 1 ('(z) '(z))
zz 2
§5-2 应力和位移的复变函数表示
一 应力分量的复变函数表示
根据应力分量和应力函数的关系
x
2
y 2
y
2
x 2
xy 2
xy
可得到应力分量的复变函数表示
x
y
2
y 2
2
x2
4 2
z z
由 可得 而由
1 (z(z) z(z) (z) (z))
2
x y 2['(z) '(z)] 4Re'(z)
v y
2[
'
(z)
'
(z)]
(1
)
2
y 2
2
i
x
[
(
z
)
(
z
)]
(1
)
2
y 2
将上两式分别对x及y积分，得
Eu
2[ ( z)
(z)] (1
)
x
f1( y)
Ev
2 i[ ( z)
( z)]
(1
)
y
f
2
(
x)
其中的f1及f2为任意函数。将上式代入式
E 2(1
)
( v x
u y
)
xy
令
g(z) (z)
即得有名的古萨公式 1 [z(z) z(z) (z) (z)]
2
也可以写成
Re[z (z) (z)]
于是可见，在常量体力的平面问题中，应
力函数φ总可以用复变数z的两个解析函 (z) 和(z)来表示，称为K-M 函数。而求解各个具
体的平面问题，可归结为适当地选择这两个解 析函数，并根据边界条件决定其中的任意常数。