矩阵的特征值
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那么： λ1 ，λ2是同一矩阵A的两个特征值，则λ1 ＋λ2
是A+B的特征值，对吗？
λ1 λ2是AB的特征值，对吗？
补充例题： 1）设n阶方阵A的n个特征值为λ1 ,…,λn， 证明| A |= λ1 …λn 。
2)设A,B均为n阶矩阵，证明AB,BA有相同 的特征值。
3)设方阵A满足:2A2-3A-5I=0，证明2A+I的 特征值全不为零。
定理4.3 n阶矩阵A互不相同的特征值
1, , m，对应的特征向量x1, , xm
线性无关。
总结： （1）任一n阶方阵A必有n个特征值（包括重根）。 （2）设x是A的关于特征值λ的特征向量，则对于
任意常数，cX也是A的关于λ特征值的特征向 量。 （3）若X1,X2是A的关于λ的特征向量，则 k1X1+k 2X2也是A的关于λ的特征向量, k1 ,k 2 为常数 。
今天作业：
P206-207 1(2)(4) 2 3
特征值不为零。
（二）特征值与特征向量的性质：
定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的 特征值.
定理4.2 设A (aij )是n阶矩阵，如果
n
（1） aij 1 （i 1,2, , n) j 1
n
或（2） aij 1 （j 1,2, , n) i 1
有一个成立，则矩阵A的所有特征值k的 模 k 小于1，即 k 1（, i 1,2, , n)。
由（2）、（3）推广为：对应于同一特 征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征 值的特征向量；但对应于不同特征值的特征 向量的和不再是特征向量。 （4）一个特征值对应的特征向量有无穷多
个；但是一个特征向量只能对应一个特 征值，而不能属于不同的特征值。
（5）对应于不同特征值的特征向量线性无关； 但对应于同一特征值的特征向量不一定 线性相关（定理4.3）。
c1η1+…+ctηt。
例2.求矩阵A
1 4
1 3
0 0
的特征值和
1 0 2
特征向量。
练习：求矩阵A
4 3
6 5
00 的特征值和
3 6 1
特征向量。
例4.求n阶矩阵A
a
的特征值和特征向量。 a
命题1 n阶矩阵A是奇异矩阵
A有一个特征值为0。
命题2： 矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一
定义4.2 设A为n阶矩阵，含有未知量λ的矩阵λIA称为A的特征矩阵，其行列式| λI-A |为λ的n次 多项式，称为A的特征多项式， | λI-A |＝0称 为的特征方程。
说明： 1）如λ是A的一个特征值,则必有| λI-A |＝0成 立，故λ又称为特征 根。当然，可以是单根， 也可以是重根。
2）如λ是| λI-A |＝0的ni重根，则(λI-A )x＝0必有 非零解，习惯称λ为A的ni重特征值（根）。
推广：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A 有n个线性无关的特征向量。
（6）A与它的转置矩阵AT有相同的特征值； 但特征向量不一定相同（定理4.1） 。
补充性质： 若λ是矩阵A的特征值，x是关于λ的
特征向量，则： a)k λ是kA的特征值。 b) λm是Am的特征值,m是自然数。 c)A可逆时， λ-1是A-1的特征值。
3)( λI-A )x＝0的每一个非零解向量均为λ的 特征向量。
例1.求矩阵A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 5
11的特征值何特征向量。
求特征值和特征向量的步骤：
1）计算A的特征多项式| λI-A |。 2）求出特征方程| λI-A |＝0的全部特征值。 3) 对每个特征值λ 0，求出相应的齐次线性
方程组（λ0I-A）x=0的一个基础阶系 η1,…,ηt，则A的λ0关于的特征向量为：
是A+B的特征值，对吗？
λ1 λ2是AB的特征值，对吗？
补充例题： 1）设n阶方阵A的n个特征值为λ1 ,…,λn， 证明| A |= λ1 …λn 。
2)设A,B均为n阶矩阵，证明AB,BA有相同 的特征值。
3)设方阵A满足:2A2-3A-5I=0，证明2A+I的 特征值全不为零。
定理4.3 n阶矩阵A互不相同的特征值
1, , m，对应的特征向量x1, , xm
线性无关。
总结： （1）任一n阶方阵A必有n个特征值（包括重根）。 （2）设x是A的关于特征值λ的特征向量，则对于
任意常数，cX也是A的关于λ特征值的特征向 量。 （3）若X1,X2是A的关于λ的特征向量，则 k1X1+k 2X2也是A的关于λ的特征向量, k1 ,k 2 为常数 。
今天作业：
P206-207 1(2)(4) 2 3
特征值不为零。
（二）特征值与特征向量的性质：
定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的 特征值.
定理4.2 设A (aij )是n阶矩阵，如果
n
（1） aij 1 （i 1,2, , n) j 1
n
或（2） aij 1 （j 1,2, , n) i 1
有一个成立，则矩阵A的所有特征值k的 模 k 小于1，即 k 1（, i 1,2, , n)。
由（2）、（3）推广为：对应于同一特 征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征 值的特征向量；但对应于不同特征值的特征 向量的和不再是特征向量。 （4）一个特征值对应的特征向量有无穷多
个；但是一个特征向量只能对应一个特 征值，而不能属于不同的特征值。
（5）对应于不同特征值的特征向量线性无关； 但对应于同一特征值的特征向量不一定 线性相关（定理4.3）。
c1η1+…+ctηt。
例2.求矩阵A
1 4
1 3
0 0
的特征值和
1 0 2
特征向量。
练习：求矩阵A
4 3
6 5
00 的特征值和
3 6 1
特征向量。
例4.求n阶矩阵A
a
的特征值和特征向量。 a
命题1 n阶矩阵A是奇异矩阵
A有一个特征值为0。
命题2： 矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一
定义4.2 设A为n阶矩阵，含有未知量λ的矩阵λIA称为A的特征矩阵，其行列式| λI-A |为λ的n次 多项式，称为A的特征多项式， | λI-A |＝0称 为的特征方程。
说明： 1）如λ是A的一个特征值,则必有| λI-A |＝0成 立，故λ又称为特征 根。当然，可以是单根， 也可以是重根。
2）如λ是| λI-A |＝0的ni重根，则(λI-A )x＝0必有 非零解，习惯称λ为A的ni重特征值（根）。
推广：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A 有n个线性无关的特征向量。
（6）A与它的转置矩阵AT有相同的特征值； 但特征向量不一定相同（定理4.1） 。
补充性质： 若λ是矩阵A的特征值，x是关于λ的
特征向量，则： a)k λ是kA的特征值。 b) λm是Am的特征值,m是自然数。 c)A可逆时， λ-1是A-1的特征值。
3)( λI-A )x＝0的每一个非零解向量均为λ的 特征向量。
例1.求矩阵A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 5
11的特征值何特征向量。
求特征值和特征向量的步骤：
1）计算A的特征多项式| λI-A |。 2）求出特征方程| λI-A |＝0的全部特征值。 3) 对每个特征值λ 0，求出相应的齐次线性
方程组（λ0I-A）x=0的一个基础阶系 η1,…,ηt，则A的λ0关于的特征向量为：