角平分线的性质及判定导学案

鸡西市第十九中学学案

班级姓名

学科数学课题角平分线的判定课型新课时间2013年月日人教版七年级上

学习目标复习角平分线的性质，理解角平分线的判定。会用角平分线的性质和判定解几何证明题。

重点

难点

会用角平分线的性质和判定解几何证明题。

学习内容

【知识回顾】判断两个三角形全等的方法

1．三边分别对应相等的两个三角形全等．简写为。

2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．简写为。

3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．简写为。

4．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简写为。5．有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等．简写为。

角平分线的性质定理：

几何语言表示为：

∵ OQ是∠AOB的平分线，

QE⊥，QD⊥

∴QE＝

【注意】该定理证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种常用方法．【探究】现有如图所示的三条公路l1，l2，l3，•要想在三条公路围成的区域内建一个加油站，使它到每条公路的距离都相等．你能找到这个位置吗？

l1

l3

l2

B A O

P 把角平分线性质反过来可得：

“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”

解：如右图，过______做射线，

已知：_____________⊥，____________⊥；并且_______=_______

求证：_____是AOB ∠的平分线

证明：

结论：角平分线的判定定理

【注意】（1）该定理也是证明两角相等的一种方法；

（2）三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等．

例1．如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ，EC 平分BCD ∠交AB 于E ，且BE AE =， 求证：DE 平分CDA ∠

例2．如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点E ，且DE ＝2cm ，AB ＝9cm ，BC ＝6cm ，求△ABC 的面积．

【当堂训练】

1．下面哪个点到三角形三边的距离相等（ ）

A ．三条角平分线的交点

B ．三条中线的交点

C ．三条高的交点

D ．三角形内任意一点

2．如图，ABC ∆的两个外角平分线相交于点P ，则下面结论正确的是（ ）

A ．BP 不平分ABC ∠

B ．BP 平分AB

C ∠ C ．BP 平分APC ∠

D ．PC PA =

3．在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AD 是BAC ∠的角平分线，若cm BC 5=，cm BD 3=，则点D 到AB 的距离为 ．

4．如图，ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为O ，则=∆∆∆CAO BCO ABO S S S :: ．

5．AOB ∠的平分线上一点P ，P 到OA 的距离为cm 5.1，则P 到OB 的距离 为 cm ．

6．如图，在直线CD 上求一点P ，使得点P 到射线OA 和OB 的距离相等．

7．如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，点O 为三条角平分线的交点，BC OD ⊥于D ，AC OE ⊥于E ，AB OF ⊥于F ，且cm AB 10=，cm CB 8=，cm CA 6=，求OD 的长．

8．如图，B 是CAF ∠内一点，D 在AC 上，E 在AF 上，且EF DC =，BCD ∆与BEF ∆的面积相等．求证：AB 平分CAF ∠

9．如图，CD BD =，AC BF ⊥于F ，AB CE ⊥于E ． ⑴求证：D 在BAC ∠的平分线上；

⑵若将⑴的条件“CD BD =”和结论“D 在BAC ∠的平分线上”互换，成立吗？说明理由．