二次谐波的产生及其解

§2.3 二次谐波的产生及其解

二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应用，如Nd:YAG 激光器的基频光(1.064μm)倍频成0.532μm 绿光，或继续将0.532μm 激光倍频到0.266μm 紫外区域。

本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解，并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。 2.3.1 二次谐波的产生

设基频波的频率为1ω，复振幅为1E ；二次谐波的频率为()2212ωωω=，复振幅2E 。由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度()

2P ，辐射出的二次谐波场

()3E z 所满足的非线性极化耦合波方程

()()()22

2202

22

2ik z d E z i P z e dz k μω-= (2.3.1-1) ()()()()()12

22110211;,ik z P z z E z e εχωωω=-:E (2.3.1-2)

注意简并度1D =，212ωω=

()()()()()()()()()2

2202

1102112

21

112112;,2;,i kz

i kz

d E z i E z E z

e dz k i

E z E z e n c

μωεχωωωωχωωω∆∆=-:=-: (2.3.1-3)

波矢失配量， 122k k k ∆=- (2.3.1-4) 写成单位矢量（光波的偏振方向或电场的振动方向）和标量的乘积形式

333E a E =，基频光场可能有两种偏振方向，即'

1111

,a E a E ，两种偏振方向可以是相互平行也可以是相互垂直，并有331a a ⋅=

()()()()'2

22121121112;,i kz dE z i a a a E z e dz n c ωχωωω∆⎡⎤=⋅-::⎢⎥⎣

⎦ (2.3.1-5)

基频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度()

21P ，辐射出基频光场满足的非线性极化耦合波方程。

()()()12210111

2ik z d E z i P z e dz k μω-= (2.3.1-6)

()()()()()21*

2()12101212;,i k k z P z z E z e εχωωω-=--:E (2.3.1-7)

()()()()()'21*1121121211;,::i kz dE z i a a a z E z e dz n c ω

χωωω-∆⎡⎤=⋅--E ⎢⎥⎣

⎦ (2.3.1-8)

如果介质对频率为13,ωω的光波都是无耗的，即13,ωω远离共振区，则

()()()()22311131;,,;,χωωωχωωω---都是实数。

进一步考虑极化率张量的完全对易对称性和时间反演对称性可以证明：

()()()

()'2(2)121

121'2211

211;,:;,eff

a a a a a a

χ

χωωωχ

ωωω=⋅--=⋅-: (2.3.1-10)

二次谐波的耦合波方程组为:

()()

()()21*1211

i kz eff dE z i E z E z e dz cn ωχ-∆= (2.3.1-11) ()()()222

112

i kz eff dE z i E z e dz cn ωχ∆= (2.3.1-12) 2.3.2 二次谐波的小信号解

1、小信号解

在小信号近似下，基频波复振幅不随光波传输距离改变，

()

10dE z dz

= (2.3.2-1) 并由边界条件()200E =，对二次谐波的耦合波方程(2.2.1-12)积分得：

L

E (0)1E (0)=0

3

图1 倍频边界条件

()()

()

()()()22

21

2222

12

1

0sin 20/2

i kL eff i kL eff e E L E cn k

kL i

E L

e

cn kL ω

χω

χ∆∆-=∆∆=∆ (2.3.2-2)

二次谐波的光强为：

()()

()()

()()()

()

2202222

2

4

210212

2222

4

2012

1

2

sin 1202

2102eff eff I L cn E L kL

cn E n c kL L E cn εωεχεωχ=∆⎛⎫= ⎪∆⎛⎫⎝⎭

⎪⎝⎭

= (2.3.2-3) 利用212ωω=有效倍频系数(有效非线性光学系数)

()22eff eff d χ= (2.3.2-4)

和函数定义 ()sin sin x

c x x

=

， (2.3.2-5) 以及 ()210111

02

I cn E ε= (2.3.2-6)

得到小信号近似下的二次谐波解

2

22

022122

01222

22132021421sin 228sin 2eff

eff d I kL I L c cn cn d L kL I c c n n εωεωε⎛⎫∆⎛⎫=

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭∆⎛⎫=

⎪

⎝⎭

(2.3.2-7)

小信号近似下倍频效率： 222221321

0138sin 2eff d L P kL I c P c n n ωηε∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ (2.3.2-8) 倍频效率正比于基频光束功率密度，输出倍频光强是基频波光强的平方。同

时由曼利——罗关系，在产生一个二次谐波光子的同时，要湮灭两个基频波光子。转换效率正比于倍频系数的平方，即与正比于有效极化率系数的平方()

2

2e

χ。

2、二次谐波解的讨论