二次谐波的产生及其解

§2.3 二次谐波的产生及其解
二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应用，如Nd:YAG 激光器的基频光(1.064μm)倍频成0.532μm 绿光，或继续将0.532μm 激光倍频到0.266μm 紫外区域。

本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解，并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。

2.3.1 二次谐波的产生
设基频波的频率为1ω，复振幅为1E ；二次谐波的频率为()2212ωωω=，复振幅2E 。

由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度()
2P ，辐射出的二次谐波场
()3E z 所满足的非线性极化耦合波方程
()()()22
2202
22
2ik z d E z i P z e dz k μω-= (2.3.1-1) ()()()()()12
22110211;,ik z P z z E z e εχωωω=-:E (2.3.1-2)
注意简并度1D =，212ωω=
()()()()()()()()()2
2202
1102112
21
112112;,2;,i kz
i kz
d E z i E z E z
e dz k i
E z E z e n c
μωεχωωωωχωωω∆∆=-:=-: (2.3.1-3)
波矢失配量， 122k k k ∆=- (2.3.1-4) 写成单位矢量（光波的偏振方向或电场的振动方向）和标量的乘积形式
333E a E =，基频光场可能有两种偏振方向，即'
1111
,a E a E ，两种偏振方向可以是相互平行也可以是相互垂直，并有331a a ⋅=
()()()()'2
22121121112;,i kz dE z i a a a E z e dz n c ωχωωω∆⎡⎤=⋅-::⎢⎥⎣
⎦ (2.3.1-5)
基频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度()
21P ，辐射出基频光场满足的非线性极化耦合波方程。

()()()12210111
2ik z d E z i P z e dz k μω-= (2.3.1-6)
()()()()()21*
2()12101212;,i k k z P z z E z e εχωωω-=--:E (2.3.1-7)
()()()()()'21*1121121211;,::i kz dE z i a a a z E z e dz n c ω
χωωω-∆⎡⎤=⋅--E ⎢⎥⎣
⎦ (2.3.1-8)
如果介质对频率为13,ωω的光波都是无耗的，即13,ωω远离共振区，则
()()()()22311131;,,;,χωωωχωωω---都是实数。

进一步考虑极化率张量的完全对易对称性和时间反演对称性可以证明：
()()()
()'2(2)121
121'2211
211;,:;,eff
a a a a a a
χ
χωωωχ
ωωω=⋅--=⋅-: (2.3.1-10)
二次谐波的耦合波方程组为:
()()
()()21*1211
i kz eff dE z i E z E z e dz cn ωχ-∆= (2.3.1-11) ()()()222
112
i kz eff dE z i E z e dz cn ωχ∆= (2.3.1-12) 2.3.2 二次谐波的小信号解
1、小信号解
在小信号近似下，基频波复振幅不随光波传输距离改变，
()
10dE z dz
= (2.3.2-1) 并由边界条件()200E =，对二次谐波的耦合波方程(2.2.1-12)积分得：
L
E (0)1E (0)=0
3
图1 倍频边界条件
()()
()
()()()22
21
2222
12
1
0sin 20/2
i kL eff i kL eff e E L E cn k
kL i
E L
e
cn kL ω
χω
χ∆∆-=∆∆=∆ (2.3.2-2)
二次谐波的光强为：
()()
()()
()()()
()
2202222
2
4
210212
2222
4
2012
1
2
sin 1202
2102eff eff I L cn E L kL
cn E n c kL L E cn εωεχεωχ=∆⎛⎫= ⎪∆⎛⎫⎝⎭
⎪⎝⎭
= (2.3.2-3) 利用212ωω=有效倍频系数(有效非线性光学系数)
()22eff eff d χ= (2.3.2-4)
和函数定义 ()sin sin x
c x x
=
， (2.3.2-5) 以及 ()210111
02
I cn E ε= (2.3.2-6)
得到小信号近似下的二次谐波解
2
22
022122
01222
22132021421sin 228sin 2eff
eff d I kL I L c cn cn d L kL I c c n n εωεωε⎛⎫∆⎛⎫=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭∆⎛⎫=
⎪
⎝⎭
(2.3.2-7)
小信号近似下倍频效率： 222221321
0138sin 2eff d L P kL I c P c n n ωηε∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ (2.3.2-8) 倍频效率正比于基频光束功率密度，输出倍频光强是基频波光强的平方。

同
时由曼利——罗关系，在产生一个二次谐波光子的同时，要湮灭两个基频波光子。

转换效率正比于倍频系数的平方，即与正比于有效极化率系数的平方()
2
2e
χ。

2、二次谐波解的讨论
定义相位匹配带宽：由二次谐波光强最大值一半处的kL ∆宽度，定义允许的相位失配量
0.886/BW k L π∆= (2.3.2-9)
定义相干长度：如果相位失配量0k ∆≠，使倍频光强单调增长的一段距离为相干长度c L
c L k
π
=
∆ (2.3.2-10)
由上面的讨论知，在小信号近似下，为获得高的倍频效率，首先应满足相位匹配条件0k ∆=，并且选用有效倍频系数大和较长的晶体，尽可能增强基频光的强度。

图 2
()2sin c kL ∆函数
图 3 不同相位匹配因子倍频效率与晶体长度关系
§2.3.3 二次谐波的大信号解（基频波存在损耗） 产生二次谐波的耦合波方程为
()()
()()()()()21*1211222
112
i kz
eff i kz
eff dE z i E z E z e dz cn dE z i E z e dz cn ωχωχ-∆-∆== (2.3.3-1)
讨论在相位匹配条件下，即0k ∆=，此时基频波和二次谐波的折射率相等，
12n n =如果基频波存在损耗，
1
0dE dz
≠ 二次谐波耦合波方程变为： ()()
()()()()()21*211222
11
eff eff dE z i E z E z dz cn dE z i E z dz cn ωχωχ== (2.3.3-2)
类似于曼利——罗关系，作
()()
**
1122d E E d E E dz
dz
+
运算，得到
()()2
2
12E z E z +=常数 (2.3.3-3)
由初始条件()()2100;00E E =≠
()()()2
2
2
1210E z E z E += (2.3.3-4)
()()()()()221221
210eff
d E z E
E z dz
n c
ωχ=
- (2.3.3-5)
考虑到积分方程：
1221tanh dx x a x a
a -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
⎰ (2.3.3-6) 将(2.3.3-5)整理成上式形式
()
()
()
()
()()()()
2221
12
2
1111
21
tanh 000eff d E z E z z n c E E E E z ωχ-⎛⎫ ⎪== ⎪-⎝⎭
⎰
(2.3.3-7)
()2E z 表示为：
()()()
()
2121110tanh 0eff E z E E z n c ωχ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(2.3.3-8)
定义倍频特征长度 ()()1
21110SH eff L E n c ωχ-⎛⎫= ⎪⎝⎭
(2.3.3-9) 二次谐波光强为：
()()
()()2202222
0112
11
2
10tanh 20tanh SH
SH
I z cn E z z
cn E L z
I L εε=== (2.3.3-10) 二次谐波与入射基频波光强比值： ()221()tanh 0SHG
I z z
I L = (2.3.3-11)
基频光在晶体内光强为：
()()
()()()
()21011220112211
2
1
02
0sech SHG I z cn E z cn E E z L I L εε==-⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
(2.3.3-13) ()2sech 0SHG
I z
I L ωω= (2.3.3-14)
图 4 基频光存在损耗条件下，倍频光和基频光光强与晶体长度关系
相干长度还可写为：
1
SH
L
-
⎛
=
⎝
(2.3.2-15)
如LiNbO3晶体，非线性倍频系数9
5.410m/V
eff
d-
=⨯，基频光波长1.064μm，折射率2.2，基频光光强25 MW/cm2，求得倍频特征长度为3.7cm。