材料力学应力状态分析)

建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
材料物质点应力状况· 应力微体 材料失效机理 •应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的应 力状况，称为该点处的应力状态。可s 由围绕该点的一个单元体面上的应力x 表示。 •应变状态 强度条件 y
s
ty y
dx
dy
x
tx
dz
s
x
z
s
y
构件内一点在各个不同方位的应变 状况，称为该点处的应变状态。
第13章
应力状态分析
引言
§13-1
低碳钢和铸铁的拉伸实验 铸 铁
低碳钢
•二者都容易由实验建立强度条件。 •铸铁断口与轴线垂直，低碳钢断口 有何不同，为什么？
低碳钢和铸铁的扭转实验
低碳钢 铸 铁
•容易由实验建立强度条件。 •与拉伸断口有何不同，为什么？ •拉伸与扭转强度条件是否有关联？

工字梁:
d
(c)
e
tx
sx
b
sa
ta
f
sy
百度文库
ty
由图 d 所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：
(d)
e
txdA cosa
s adA tadA
f t
n
sxdA cosa
b ty dA sina
s y dA sina
n 0
⇒
s a dA s x dA cosa cosa t x dA cosa sin a s y dA sin a sin a t y dA sin a cosa 0
sx
b
sx
f
tx
c
x
z
b
c
(a)
sy t y
(b)
可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上 应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角 为a，称为a截面。
应力的正负和斜截面夹角的正负规定： 1）正应力s拉为正，压为负； 2 ）切应力 t 使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反 之为负； 3）对a角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法 线重合时，其值为正；反之为负。 取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面 上应力和斜截面夹角均为正。
sa
s x s y
2

s x s y
2
cos 2a t x sin 2a
sin 2a t x cos2a
ta
s x s y
2
2
两式两边平方后求和可得：
s x s y s x s y 2 2 s t t a x a 2 2
2

s x s y
2
cos 2a t x sin 2a
ta
s x s y
2
sin 2a t x cos2a
例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉 力 F=500kN ，外力矩 Me=7kN· m 。求 C 点 a =30°截 面上的应力。
y F T T
ty
F x
C
s tx
2
而圆方程为：
x a y b
2
2
R2
可见前式实际上表示了在 s 为水平轴、 t 为垂直 轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：
s x s y , 0 2
半径为：
s x s y R 2
2 t x
2
如下图。
单元体如何取？ 在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平 面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量 dx、dy和dz，如下图所示。
y
dz dx dy x
z
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的 性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上 的应力。
§13-2 平面应力状态分析•主应力
对图 a 所示悬臂梁上 A 点处单元体上的应力分 布（图 b ）可见：有一对平面上的应力等于零，而 不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。
a' F A
t
d A
b'
d'
a
s
(a)
t t
t
c
s
c'
(b)
d
a
t t s
c
b
s t
b
A
该应力状态则称为平面 应力状态，其单元体可简化 为左图所示情形。
t
1、斜截面上的应力 已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：
y y
sy
a
t y sy
a d
ty
sx tx ty sy
sx tx
tx
x
e
a
d
n
s C ,max
s1
t1
a
b
t max
s1
C
z
a
t max
s1
O
t max
t1
y
t
t1
c
d
s t ,max
s C ,max
b
c
y
s t ,max
a 点处: 纯剪切；c , d 点处: 单向应力； b 点处:
s ,t 联合作用
复杂应力状态下，如何 建立强度条件 ？
分别满足 ? 做实验的工作量与难度 ?
t 0
⇒
t a dA s x dA cosa sin a t x dA cosa cosa s y dA sin a cosa t y dA sin a sin a 0
其中dA为斜截面ef的面积。 由此可得，任一斜截面上的应力分量为：
sa
s x s y
1）应力图的画法
已知sx、sy、tx、ty， 如右图，假定sx>sy。
a
y
t y sy
d e
n
tx sx
b
sx tx
f x
a sy t y
c
• 在s、t 坐标系内按比例尺确定两点：
D1 s x ,t x
t
D1 s x ,t x
D2 s y ,t y
C
t-30 ° ty
s
-30
s ° tx
x
x
30° n
s 30

sx 0 sx 0

2 2 16.9MPa
cos 60 t x sin 60




t 30

sx 0
2
sin 2a t x cos 2a 45.4MPa
2、应力圆
由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：
x
C
s tx ty
x
x
(a)
(b)
解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：
F 50010 sx 63.7 MP a A π 1002 4
3
Me 7 10 tx 35.7 MP a π WP 3 100 16
6
y ty
图示斜截面上应力分量为：
s tx
x
t
s x s y 2
2
2 t x
(s a , t a )
O
s x s y
2
C
s
单元体斜截面上应力（sa，ta）和应力圆上点的 坐标（sa，ta）一一对应，因此可通过确定应力圆上 相应点的坐标来求斜截面上应力（sa，ta）。
因为圆心一定在 s轴上，只要知道应力圆上的两 点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。